極限

質問

lim(n→∞）n^1/n

これのやり方が分かりません。

二項定理を使うんですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

--------------- · ベストアンサー

やり方が分からないということなので、やり方の道筋を示します。

a_n = n^(1/n) - 1 とします。

その上で、

n = (1 + a_n)^n >= (n(n-1)(a_n)^2) / 2

を示します。この際に (1 + a_n)^n の二項展開を使います。この式を示すことができれば、(a_n)^2 → 0 すなわち a_n → 0 を示すことができるでしょう。

補足

n = (1 + a_n)^n >= (n(n-1)(a_n)^2) / 2

これって、どこから出てきたんですか？

回答No.2

alice_44

A No.1 面白い解法ですね。
実にスッキリしている。

(1 + a[n])^n の二項展開から a[n] の二次項だけを取り出すと、
n = (1 + a[n])^n ≧ (nC2) a[n]^2 が言えて、
2/(n-1) ≧ a[n] となるんですね。

その為には、先に a[n] ≧ 0 を示して、二項展開の各項が ≧0
であることを言っておく必要がありますが。

凡庸な解法としては、
lim[n→∞] n^(1/n) = exp( lim[n→∞] (log n)/n ) から
x = log n で置換して
与式 = exp( lim[x→∞] x/(exp x) ) = exp(0) = 1.
という手があります。
lim[x→∞] x/(exp x) を計算するには、
分母の exp をマクローリン展開して二次項で打ち切り
x/(exp x) ≦ x/(1+x+(1/2)x^2) とすればよいです。

いや、A No.1 が素晴らしい。