物理の質問です。

質問

二次元の系を考え、A（Ax , Ay）を考える。Ax=xy , Ay=xとする。
点P＝（0 , 0）、点Q＝（1 , 1）とする。

１．積分経路をy=xの線上とするとき、W=∫[P→Q]dx Aを求めなさい。
２．積分経路をy=（x）＾2の線上とするとき、W=∫[P→Q]dx Aを求めなさい。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

これって
・積分の値がW (work)で表されていること
・積分範囲が単なる区間ではなくP，Qを結ぶ曲線であること
から，線積分を求めていると推測しました．
なので dx だとベクトルなのか成分なのか紛らわしいので
dr = (dx, dy)
と表し，また線積分なので
W = ∫[P→Q] A・dr
と，内積であることを明示します．

1.
積分経路は
r = (t, t) (0 ≦ t ≦ 1)
とパラメタ表示でき，
Ax = xy = t^2,
Ay = x = t,
dr = (dt, dt).

∴W
= ∫[P→Q] A・dr
= ∫[0,1] (t^2 + t)dt
= 1/3 + 1/2
= 5/6.

2.
積分経路は
r = (t, t^2) (0 ≦ t ≦ 1)
とパラメタ表示でき，
Ax = xy = t^3,
Ay = x = t,
dr = (1, 2t)dt.

∴W
= ∫[P→Q] A・dr
= ∫[0,1] (t^3 + 2t^2)dt
= 1/4 + 2/3
= 11/12.

お礼

回答本当にありがとうございます・・・。
教科書、ノートを見直しても分からず、何が起きてるのか全然わからなくて
線積分で、積分経路をパラメタ表示して解くことについてまだ分かりませんが、考えて覚えていきたいです
ありがとうございました。