行列の質問

質問

行列Ａ＝(ab)でＡによってあらわされる座標平面状の移動fが次の２条件
　　　　　 (cd)
(1)すべてのｘ、ｙに対して点Ｐ（ｘｙ）のｆによる像をＰ’（ｘ’ｙ’）とすれば、
点Ｐ’（ｘ’ｙ’）のｆによる像はＰ（ｘｙ）
(2)点Ｐ（ｘｙ）が直線ｙ＝ｘ/2上にあるとき点Ｐ（ｘｙ）のｆによる像Ｐ’（ｘ’ｙ’）もつねに
ｙ＝ｘ/2上にある

a＝１のとき、そのような行列Ａをすべて求める問題なのですが、どのようになるのでしょうか？

回答No.3

yokkun831

X = t(x,y)，X'=t(x',y') とします。 ※tは転置すなわちt(x,y)は列ベクトル

(1) AX = X' ならば　AX' = X
　∴　AAX = AX' = X すなわち　AA = I or A^{-1} = A（単位行列 or 恒等変換）
　したがって，det(A) = ||A|| = ±1　or d - bc = ±1

　A^{-1} = ±[(d,-b)|(-c,1)] = [(1,b)|(c,d)] = A　※ |の前後で上下に分ける
　+をとると，d=1,b=c=0 このとき　A=I で(2)を明らかに満たす。
　-をとると，d=-1,bc=0 以下この場合について考える。

(2) At(x,x/2) = t(x',x'/2)

　∴　4c - b = 4　and　bc=0
　∴　b=0,c=1 or b=-4,c=0

結果
[(1,0)|(1,-1)]，[(1,-4)|(0,-1)]，[(1,0)|(0,1)]

となると思います。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

（1)は、「2回写像：A^2は恒等変換：Eである。」と言い換えることができます。

(2)は、直線の方向ベクトル(1, 1/2)を変換すると、その定数倍になるということになります。
固有ベクトルであるという言い方もできます。

回答No.1

info22_

x'=ax+by,y'=cx+dy
y'=x'/2に代入
(cx+dy)=(ax+by)/2
{d-(b/2)}y={(a/2)-c)x
y={(a-2c)/(2d-b)}x
これが y=x/2 と一致するためには
{(a-2c)/(2d-b)}=1/2
2(a-2c)=(2d-b)…(A)

A^2=
(a^2+bc,ab+bd)
(ac+cd ,bc+d^2)

x=(a^2+bc)x+b(a+d)y
y=c(a+d)x+(bc+d^2)y

(1-a^2-bc)x=b(a+d)y
c(a+d)x=(bc+d^2-1)y

(1-a^2-bc)(bc+d^2-1)=bc(a+d)^2 …(B)

a=1の時 (A),(B)に代入して
2-4c=2d-b
-bc(bc+d^2-1)=bc(1+d)^2
bc(2d^2+2d+bc)=0

b=0の時
A=
(1,0)
(c,d)
(c,dは任意）

c=0の時
A=
(1,b)
(0,d)
(b,dは任意）

2d^2+2d+bc=0の時
A=
(1,b)
(c,d)
(b,dは任意,cは2d^2+2d+bc=0により決まる定数）

なお、合っているかは保証の限りではないので、自分でフォローして確認願います

お礼

僕も任意だと思ったんですよね～