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[行列]xy平面上において点(3,1)で
xy平面上において点(3,1)で直交している2直線l、l'があり、行列(2 p ; 0 -1)(2次正方行列)で表される1次変換fはlをl'に移す pの値、及び直線lとl'の方程式を求めよ 解き方を教えてください
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点(3,1)を通る直線lを l:a(x-3)+b(y-1)=0 とおく。括弧を展開して ax+by-(3a+b)=0 ...(1) 直線lと直交する直線l'は l':b(x-3)-a(y-1)=0 とおける。l'の括弧を展開すると bx-ay+(a-3b)=0 ...(2) 行列([2,p][0,-1])による1次変換fをすると (1)上の点(x,y)が(X,Y)に移るとすると X=2x+py, Y=-y ...(3) これをx,yについて解くと x=(X+pY)/2, y=-Y ...(4) 点(x,y)が直線l上の点だからx,yを(1)に代入して整理すると (a/2)X-((ap/2)-b)Y-(3a+b)=0 ...(5) 移動後の点(X,Y)が直線l'上の点(x,y)に移ることから(5)のX,Yを x,yで置き換えた直線の式 (a/2)x+((ap/2)-b)y-(3a+b)=0 ...(5') と(2)の直線l'の式 bx-ay+(a-3b)=0 ...(2) が同じ直線の式となることから係数の比が等しくなる。 (a/2)/b=(b-(ap/2))/a=(3a+b)/(3b-a) ...(6) これをp,a/bについて解いて p=1,a/b=-2 または p=-1,a/b=-1 ...(7) p=1のとき直線l,l'は(1),(2)から l:y-2x+5=0, l':x+2y-5=0 陽関数で書けば l:y=2x-5, l':y=-(1/2)x+(5/2) p=-1のとき直線l,l'は(1),(2)から l:y-x+2=0, l':x+y-4=0 陽関数で書けば l:y=x-2, l':y=-x+4 と2組の答えが得られます。
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