ｘｙ平面において、原点Ｏを通り互いに直交する２直線

質問

ｘｙ平面において、原点Ｏを通り互いに直交する２直線を引き、直線x=-1および直線x=3√3 との交点をそれぞれＰ、Ｑとする。 ＯＰ＋ＯＱの最小値を求めよ。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

原点Ｏを通り互いに直交する２直線をm,nとしましょうか。交点は4つある。
A: mとx=-1との交点
B: mとx=3√3との交点
C: nとx=-1との交点
D: nとx=3√3との交点
P, Qってどれだよ？というのがソモソモの疑問デスヨネ？
(1) OP+OQがOA+OBのことなのだとすると（直線nには出番がありませんが）、OA+OBの最小値が1+3√3であることは自明。
(2) OP+OQがOC+ODでも同じです。（直線mには出番がありませんで）最小値は1+3√3。
(3) OP+OQがOA+OCのことなのだとすると（直線x=3√3には出番がありませんで)、△OACは直角三角形である。明らかに、直角二等辺三角形の場合にOA+OCが最小になるんで、2√2が答。
(4) OP+OQがOB+OCのことだったら（直線x=-1には出番がありませんで)、(3)と比べて、直角三角形の各辺の長さが3√3倍になるだけなので、(2√2)×(3√3)が答である。
　残る問題は、
(5) OP+OQがOA+ODであるとき。（ま、出題者の意図は専らこれなんでしょうけど、はっきり書いてないと(1)～(4)も省けません。）
　交差する相手の直線を x=-1とx=3√3じゃなくて一般にx=a, x=b (a≠0, b≠0)だとしてみましょう。
　そして、mの方程式を ux + vy = 0 とすると、v=0の場合にはmはx=aともx=bとも交点を持たない。また、u=0の場合にはnがaともx=bとも交点を持たない。だから(5)においては、これらの場合は除外してよろしい。というわけで、mの方程式を
　　 y = αx (α≠0)
と書いても差し支えない。このときnの方程式は
　　y = x/α
です。
　　A= (a, aα)
　　D= (b, b/α)
であり、原点からの距離は
　　OA = |A| = |a|√(1+α^2)
　　OD = |D| = |b|√(1+1/(α^2))
である。
OA+OD をfと書くことにすると、
　　f = |A|+|D| = |a|√(1+α^2) + |b|√(1+1/(α^2))
である。ここで
　　z = α^2
とおくと zは正の実数 (z＞0)です。zを使って
　　f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
と書き直します。さて、fの極小値を計算する。つまり方程式
　　df/dz = 0
を満たすzを計算するわけで、df/dzを計算して方程式に代入すると
　　|a|/(2√(1+z)) - |b|/(z^2)/(2√(1+1/z)) = 0
移項して分母を払うと
　　|a|(z^2)√(1+1/z)　＝ |b|√(1+z)
両辺を2乗して
　　(a^2)(z^4)(1+1/z)　＝ (b^2)(z+1)
つまり
　　(a^2)(z^3)(z+1) = (b^2)(z+1)
z>0なので(z+1)で割って
　　(a^2)(z^3) = (b^2)
a≠0なので
　　z^3 = (b/a)^2
である。ただし、zは正の実数でなくてはならないのでした。
　ところで、aとbは0でない実数でした。なので、a,bを決めるとこの方程式を満たすzはいつも丁度ひとつ存在して、それは
z = ((b/a)^2)の立方根
です。これを
　　f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
に代入するとfの極値、つまりfの極小値あるいはfの極大値が得られる。
　ですが、fの極値を与えるzがただ一つしかなくて、しかもz→0やz→+∞のときにfが+∞に発散するんですから、極大なんてそもそも存在しないのは明らか。なので、この計算でfの極小値が得られ、これがfの最小値でもある。

お礼

おぉお！
とっても分かりやすかったです！
解答ありがとうございました＾＾

回答No.1

yyssaa

＞OQとx軸とのなす角度をθとするとOPとx軸とのなす角度はθ+π/2。
OQ=3√3/cosθ、OP=1/sinθ、OQ+OP=3√3/cosθ+1/sinθ=f(θ)とおくと、
0＜θ＜π/2でのf(θ)の最小値が求める値になる。
f'(θ)=3√3sinθ/cos^2θ-cosθ/sin^2θ
=(3√3sin^3θ-cos^3θ)/sin^2θcos^2θ
3√3sin^3θ-cos^3θ=0すなわちtan^3θ=1/3√3でf'(θ)=0、
tan^3θ＞1/3√3でf'(θ)＞0、tan^3θ＜1/3√3でf'(θ)＜0となるので
f(θ)はtan^3θ=1/3√3で極小となる。
1/3√3=√3/9=3√3/27=(√3)^3/3^3、よってtanθ=√3/3=1/√3から
θ=π/6、sinθ=1/2、cosθ=√3/2
f(θ=π/6)=3√3/(√3/2)+1/(1/2)=8・・・答