数学を教えてください。

質問

原点をOとする座標平面において、単位円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１と双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝１のｘ＞０の部分をそれぞれC、C”とする。次に、点A（－１、０）を通る傾きtan（a)(0<a<π/4)の直線ｍｔ曲線C、C”との交点をそれぞれP、P"とする。また、直線OPと直線ｘ＝１の交点をQ、点Oを中心とする半径OQとx軸の正の部分との交点をRとする。ｘ軸の正の部分から半直線OPに向かう角は＜ア＞であるから、P（＜イ＞、＜ウ＞）、Q（１、＜エ＞）である。ゆえに、R（１/＜オ＞、０）となる。
三角関数の加法定理の応用により、１/cos^2*2a=1+<カ＞、（１/＜オ＞＋１）tana=<キ>
であるから、P’（１/＜ク＞、＜ケ＞）となる。
＜ア＞～＜ケ＞を教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞原点をOとする座標平面において、単位円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１と双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝１のｘ＞０の部分をそれぞれC、C”とする。次に、点A（－１、０）を通る傾きtan（a)(0<a<π/4)の直線ｍｔ曲線C、C”との交点をそれぞれP、P"とする。また、直線OPと直線ｘ＝１の交点をQ、点Oを中心とする半径OQと
＞x軸の正の部分との交点をRとする。
傾きtan(a)は１(＝tan(π/4)）より小さくして、直線ｍｔや、その他のグラフを描いてみればいいと思います。
上に書かれている他に、Ｂ（１，０），Ｐからｘ軸におろした垂線の足をＨとします。
直線ｍｔ：ｙ＝tan(a)（ｘ＋１）……（１）

＞ｘ軸の正の部分から半直線OPに向かう角は＜ア＞であるから、P（＜イ＞、＜ウ＞）、Q（１、＜エ＞）である。ゆえに、R（１/＜オ＞、０）となる。
三角関数の加法定理の応用により、１/cos^2*2a=1+<カ＞、（１/＜オ＞＋１）tana=<キ>
＞であるから、P’（１/＜ク＞、＜ケ＞）となる。
△ＰＡＯで、∠ＯＡＰ＝ａ，ＯＡ＝ＯＰ＝１なので、二等辺三角形だから、∠ＯＰＡ＝ａ
よって、∠ＰＯＨ＝∠ＯＡＰ＋∠ＯＰＡ＝ａ＋ａ＝２ａ　……ア
△ＰＯＨで、｜ＯＰ｜＝１だから、
ＯＨ＝｜ＯＰ｜cos(2a）＝cos(2a)，ＰＨ＝｜ＯＰ｜sin(2a)＝sin(2a)
よってＰ（cos(2a)，sin(2a)）……イウ
△ＰＯＨ相似△ＱＯＢだから、ＯＨ：ＯＢ＝ＰＨ：ＱＢより、
cos(2a)：１＝sin(2a)：ＱＢ　より、ＱＢ＝tan(2a)
よって、Ｑ（１，tan(2a)）……エ
作図から、ＯＲ＝ＯＱ　
△ＰＯＨ相似△ＱＯＢだから、ＯＨ：ＯＢ＝ＯＰ：ＯＱより、
cos(2a)：１＝１：ＯＱ　より、ＯＱ＝１／cos(2a)
よって、Ｒ（１／cos(2a)，０）……オ
＞１/cos^2*2a=1+<カ＞
公式より、１/cos^2(2a)=１＋tan^2(2a)　……カ
＞（１/＜オ＞＋１）tana=<キ>
直線の式（１）より、ｘ＝１／cos(2a)のときのｙ座標は、
ｙ＝tan(a)｛（１／cos(2a)）＋１｝
＝tan(a)｛（１＋cos(2a)）／cos(2a)｝
＝tan(a)×｛２cos^2(a)／cos(2a)｝　　２倍角の公式より
＝｛sin(a)／cos(a)｝×｛２cos^2(a)／cos(2a)｝
＝２sin(a)cos(a)／cos(2a)
＝sin(2a)／cos(2a)　　　　　　　　　　２倍角の公式より
＝tan(2a)　……キ
これは、Ｐ'のｙ座標だから、
Ｐ'（１／cos(2a)，tan(2a)）……クケ
Ｐ'は、直線（１）上の点です。
この座標は、双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝１に代入しても
等式が成り立つので（カの式になります。）、Ｐ'は、双曲線上の点でもあります。
よって、Ｐ'は直線（１）と双曲線の交点だから、Ｐ'＝Ｐ''です。

でどうでしょうか？　図を描いてみれば分かると思います。

回答No.2

mister_moonlight

馬鹿正直に計算する前に、この問題のbaseになっているものに気がついてしまえば簡単な問題。
そのbaseとは、tanθ＝αとすると、cos2θ＝(1-α＾2)/(1＋α＾2)、sin2θ＝(2α)/(1＋α＾2)、tan2θ＝(2α)/(1-α＾2)。これは教科書にも載ってるはずで、それの応用に過ぎない。

直線の傾き＝tanθ＝αだから　円と直線との交点は連立して解くと、一つは　-1だが　もう一つは　x＝(1-α＾2)/(1＋α＾2)＝cos2θ。よつて、(ア)＝2θ
つまり、P（cos2θ、sin2θ)←(イ)、(ウ)　又、Ｑ(1、tan2θ)。
半直線OPは　y＝tan2θ*xだから　求める円は、x＾2＋y＾2＝1＋tan＾2(2θ)　y＝0とすると、R(1/cos2θ、0)

以下省略。