電位差とは？

質問

最近電磁気学を習い始めたのですが、電位差の問題でわからない部分があります。Ｅ＝(ー６y/x^2)ax＋(6/x)ay+(5)azでＡ(-5,3,1)とＢ(4,1,2)の電位差を求めたい場合、Ｅを変化した距離ｄＬで積分すればよいのはわかるのですが、このＥの中にそれぞれあるｘ、ｙには何を入ればよいのでしょうか？それぞれｘ、ｙ成分をｘ、ｙでＡ点～Ｂ点の範囲で積分しても最後にｙ、もしくはｘが残ってしまいます。Ｑが与えられているような問題は解けたのですが、このような電界があらかじめ与えられている問題はどうすればよいのかわかりません。どなたか回答もしくはヒントをお願いいたします。

回答No.4

endlessriver · ベストアンサー

大体あっています。が2番目はx=4です。xが-7から4に移動させた後ですから。
－∫[2～1](6/4)dy
積分した形として
＝12/x[-7～4]＋6*y/(4)[2～1]+5z[1～2]

お礼

最後までお付き合いいただき本当にありがとうございました。だいたいの事が理解できてきました。どうもありがとうございました。

回答No.3

endlessriver

私の計算によると大体-8.2Vですから、電位の基準点が反対になっているだけと思います。
積分路はＡ(-7,2,1)から(4,2,1)だけではB点に到達しません。到達するには折れ線であと２本、y軸に平行なものとz軸に平行なものをとります。

ax,ay,azはデカルト座標の単位ベクトルのことと思います。すると始めの積分路での線素ベクトルdsはdxaxとなり、E・ds={(ー６y/x^2)ax＋(6/x)ay+(5)az}dxax=
{(ー６y/x^2)ax・ax＋(6/x)ay・ax+(5)az・ax}dx
となり、ここに単位ベクトルの内積ax・ax=1,ay・ax=az・ax=0を使うのです。

補足

折れ線であと２本、y軸に平行なものとz軸に平行なものをとるということはベクトル内積の考えをay,az成分にも適応させるわけですよね？そうすると全体の電位差として
Vab==ー∫[-7～4](6・2/x^2)dx－∫[2～1](6/(-7))dy－∫[1～2]5dzを計算すればよいのですか？積分した形として
＝12/x[-7～4]＋6*y/(-7)+5z[1～2]であってますか？

回答No.2

endlessriver

Ａ(-5,3,1)からＢ(4,1,2)への積分路をとりますが、まずＡ(-5,3,1)から(4,3,1)へ積分するのです。
するとこの積分路ではy=3,z=1の定数で積分の線素ds=axdx（他のay,az成分は無い）となり
-∫E・ds=∫[-5,4](6・3/x^2)dx
となります。
蛇足ですがax・ax=1,ay・ax=az・ax=0

補足

すみません、A点はＡ(-7,2,1)、B点は(4,1,2)でした。アドバイスされた通りやってみたのですが、答えが参考書の答えとなぜか合いません・・
-∫E・ds=∫[-7,4](6・2/x^2)dxこれを積分してX^2が1/xになりますよね？僕の積分のやり方が間違っているのでしょうか？ちなみに答えは８．２１Vです。あと
ax・ax=1,ay・ax=az・ax=0と言う条件はaz、ay成分が移動していない場合の条件ですか？

回答No.1

endlessriver

rot E=0ですから保存場となり、ポテンシャルが存在し、２点間の電位差は積分路に依存しません。
だから、計算しやすい直線路を取ればよいのです。すると例えばx軸に平行に積分するときはy,zの値はある定数になるのです。

補足

x軸について積分するということは最初のax成分を積分すればよいわけですよね？ｙは定数なのは分かるのですが、積分後に定積分でｘの範囲を代入してもｙが定数なので残ってしまいますが、このｙはどうしたらよいのですか？