電気双極子の電位

質問

電磁気学で電位がポテンシャルだということは知っています。
すいません。どうしても、電位について完全にイメージできてないものでできれば丁寧におねがいします。

(2,0),(-2,0)にそれぞれqの電荷がありました。(x,y)における電位をもとめよ。という問題を教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

電荷 q による電位φが
(1)　　φ = (q/4πεr)
で表されることは大丈夫ですよね．
r は電荷 q からの距離．
多分真空中の話と思いますので，本当はε_0 ですが，
みやすくするため単にεと書きました．

さて，電場や電位は重ね合わせが効きます．
つまり，電荷が２個あれば，それぞれによる電場あるいは電位を足し合わせれば
よいということです．
今の場合ですと，P(x,y)，A(2,0)，B(-2,0)，としておいて，
Ｐ点の電位φは
(2)　　φ = φ_A + φ_B
です．
φ_A は A 点の電荷による分．
(1)で r に相当するのが PA 間の距離 r_A です．
r_A は三平方の定理で簡単に出せますね．

φが出せたら，
(3)　　E_x = -(∂φ/∂x)，　　　E_y = -(∂φ/∂y)
で電場を求めてみてください．
直接電場を合成したのと同じ結果になるはずです．

計算は以上のように簡単ですが，見落としがちなことがあります．
それは，(1)の結果が無限遠点を基準にしているということです．
ポテンシャルエネルギーは山の高さみたいなものですから，
２つ以上のものを扱うときには基準点を同じにしておかないといけません．
無限遠点なら，A 点から見ても B 点から見ても無限遠点ですから，
同じ基準点を採用していることになります．
ところが，例えば電荷の位置自身を基準点に選んだらどうでしょう．
φ_A (A 点を基準)と φ_B (B 点を基準)とは基準点が違うことになりますから，
(2)のような単なる足し合わせではなくて，
基準点の違いの分を補正してやる必要があります．
そういうわけで，可能ならば無限遠点をポテンシャルの基準点に選ぶのです．

電磁気の授業をやっていて
「原点に電荷 q をおいたときの電位は(1)であるが，
電位の基準点はどこに選んでいるのか」
と聞くと，原点と答える学生は非常に多いです．

なお，電荷の位置自身を基準点に選ぼうとすると，
積分が発散してしまうという難点もあります．

お礼

本当にありがとうございました。電位についてのイメージを強くすることだできました。

回答No.2

KENZOU

＜準備その１＞
電位の定義は、電場Ｅが作用している場の中で１クーロンの点電荷を無限遠から点pまで運ぶに要する仕事と定義されます。電場は保存場なのでこの場合の仕事量は道筋によらないですね（←ややこしいことを言いましたが力学でよくやる万有引力のケースを思い出してください）。
これを数学的に書くと、電位をＶとして
　Ｖ＝-∫[∞,p]Ｅ・dr＝-∫[∞,p](Exdx+Eydy+Ezdz)　(1)
となります。これから
　Ex＝-∂V/∂x,Ey＝-∂V/∂y,Ez＝-∂V/∂z　　(2)
が成り立つことが分かります。

＜準備その２＞
集合点電荷による電場と電位はそれぞれの電荷が作る電場、電位の足し算となります（線形和）。点電荷ｑクーロン1個が作る点Ｐでの電場は
　Ｅ＝(1/4πε0)q/r^2(r→/r)　　(3)
ベクトルｒをｒ→と書いて、(3)の右辺の(r→/r)はベクトルｒ方向の単位ベクトルとなります。
電位Ｖは
　Ｖ＝(1/4πε0)q/r　　(4)
となります。従ってｎ個の集合電荷の点Ｐにおける電場は
　Ｅ＝(1/4πε0)Σqi/ri^2(ri→/ri)，i=1,2,・・・n (4)
電位は
　Ｖ＝(1/4πε0)Σqi/ri，i=1,2,・・・n　　(5)
となります。

＜問題の電荷配置が作る電位＞
点P(x,y)とし、原点からの距離をr、点(-2,0)、(2,0)から点Pへの距離をそれぞれr1、r2とします。点Pでの電位は従って(5)より
　Ｖ＝(1/4πε0){q/r1＋q/r2}
　　＝(q/4πε0){1/√(r^2＋2^2－2・r・2cosθ)
　　　　　　　　　－1/√(r^2＋2^2＋2・r・2cosθ)}　(6)
ここでθは原点と点Pを結ぶ線分のｘ軸となす角で、(6)の最後の変形は三角関数の公式を使います。
ここで、原点から点Pへの距離ｒが原点から電荷までの距離２よりはるかに大きいとすると(6)の第1項は
　　1/√(r^2＋2^2－2・r・2cosθ)
　＝(1/r){1+4/r^2－(4/r)cosθ}^(-1/2)
ここで右辺第2項はｒが非常に大きいので4/r^2→０となりますから
　＝(1/r){１＋2/rcosθ}　　　(7)
と展開できます。
同様にして第2項を計算し、(6)を整理すると
　Ｖ＝qcosθ/πε0r^2
　　＝qcosθ/πε0(x^2+y^2))　　(8)
となります。
以上のことは電磁気学の大抵のテキストに載っていると思いますので、ここで書いたことを参考にしてテキストを再度読み直されることをお奨めします。

お礼

本当にありがとうございました。非常に分かりやすかったです。