電位を求める問題です

質問

電位を求める問題なんですが、

（±a,0,0）の２点に＋Q、（0,±a,0）の２点に－Qの電荷があるとき、P点（x,y,z）における電位Vを求めよ。ただし、ｚ>>aとする。

という問題なんですが、普通に計算するだけなら「z>>a」の条件は関係ないですよね？
だとすると電気双極子（四重極子？）のように、近似などを利用して解くのでしょうか？

そのあたりは恥ずかしながら理解できていないので、出来れば詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.2

foobar · ベストアンサー

たとえば、(-a,0,0)からP(x,y,z)までの距離rは
r=√((x+a)^2+y^2+z^2)
≒√(x^2+2ax+y^2+z^2)
ここで、R^2=x^2+y^2+z^2とすると、
r≒√(R^2+2ax)
≒R+ax/R (R>z, x/R<1なので)
となります。

これを使って、、点電荷Qによる電位はkQ/r （k:定数)なので、
4つの電荷による電位Vは
V=k(Q/(R+ax/R)+Q/(R-ax/R)-Q/(R+ay/R)-Q/(R-ay/R))
=kQ(1/(R+ax/R)+1/(R-ax/R)-1/(R+ay/R)-1/(R-ay/R))
=kQ(2R/(R^2-(ax/R)^2)-2R/(R^2-(ay/R)^2))
≒2kRQ((ax/R)^2-(ay/R)^2)/R^4
=2kQ((ax)^2-(ay)^2)/R^5
という具合になるかと思います。

お礼

詳しく解説していただいてありがとうございます！！

ですが丁寧に説明していただいたのに、自分の勉強不足のせいでわからない箇所があります。
「kQ(2R/(R^2-(ax/R)^2)-2R/(R^2-(ay/R)^2))
≒2kRQ((ax/R)^2-(ay/R)^2)/R^4」
の箇所がどういう計算になっているのかがわかりません。
自分で挑戦するなり、調べるなりしてみようか。とも思うのですが、お手間でなければ教えて頂けると幸いです。

回答No.3

foobar

kQ(2R/(R^2-(ax/R)^2)-2R/(R^2-(ay/R)^2))
通分して、計算します。
そうすると、分母が
(R^2-(ax/R)^2)*(R^2-(ay/R)^2)
になるので、R>>aから、
R^4に近似できます。

お礼

本当にありがとうございます。
こんな質問にまで答えてくださいましてどうもすみません。

これで疑問は解消されました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

foobar

近似を利用することで、電荷からP点までの距離の式を簡略化できて、最後に計算する電位の和の式が簡略化できるように思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。

色々と試しているんですが、近似の使い方を理解していないようで、うまくいきません・・・
「ｒ^2＝x^2+y^2+z^2とおいて、z>>aのとき、r>>aと考えてa/rのべき級数に展開して、高次の項を無視する」ということでしょうか？
どなたか詳しく解説していただけないでしょうか？