数学の問題です

質問

f(x)=x+|x|/2とし、g(x)=f(1-x)・f(1+x)とする。
∫2 -2g(x)dxを求めよ。

∫2 -2というのは-2から2までの定積分という意味です。

わかりづらいとは思いますが解答よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

まずg(x)は　g(-x)=f(1+x)・f(1-x)=g(x) で偶関数ですので、積分範囲を0～2だけに限定して考えることができます。
　　∫[x=-2→2] g(x)dx = 2∫[x=0→2] g(x)dx

　次に0≦x≦2の範囲で 1+x,1-x の符号を見ますと、1+x は常に正ですが、1-x はx=1で符号が変わりますので x=1 で範囲を分けて考えます。
　0≦x≦1 のとき　g(x)=f(1-x)・f(1+x)=(3/2)(1-x)・(3/2)(1+x)=・・・
　1≦x≦2 のとき　g(x)=f(1-x)・f(1+x)=(1/2)(1-x)・(3/2)(1+x)=・・・

　あとは、積分区間を分けて定積分すれば答えが得られます。
　　∫[x=-2→2] g(x)dx = 2∫[x=0→2] g(x)dx =2{∫[x=0→1] g(x)dx +∫[x=1→2] g(x)dx} =・・・

　よろしければ参考にしてください。

回答No.3

info22_

f(x)=(x+|x|)/2とし、g(x)=f(1-x)・f(1+x)=1-x^2 (|x|≦1), =0(|x|＞1)
∫[-2,2] g(x)dx
=2∫[0,1] (1-x^2)dx
=2[x-(1/3)x^3] (x=1)
=4/3

回答No.1

sanori

こんにちは。

ｘが－２～０　のときは、
ｆ（ｘ）　＝　ｘ＋（－ｘ）／２　＝　ｘ／２
ｆ（１－ｘ）　＝　（１－ｘ）／２
ｆ（１＋ｘ）　＝　（１＋ｘ）／２
ｇ（ｘ）　＝　（１－ｘ）／２・（１＋ｘ）／２　＝　（１－ｘ^2）／２
　＝　１／２　－　ｘ^2／２

ｘが０～２　のときは、
ｆ（ｘ）　＝　ｘ　＋　ｘ／２　＝　３ｘ／２
ｆ（１－ｘ）　＝　３（１－ｘ）／２
ｆ（１＋ｘ）　＝　３（１＋ｘ）／２
ｇ（ｘ）　＝　３（１－ｘ）／２・３（１＋ｘ）／２　＝　９（１－ｘ^2）／２
　＝　９／２　－　９／２・ｘ^2

∫[x=-2⇒2]ｇ（ｘ）ｄｘ　＝　∫[x=-2⇒0]ｇ（ｘ）ｄｘ　＋　∫[x=0⇒2]ｇ（ｘ）ｄｘ
　＝　∫[x=-2⇒0]（１／２　－　ｘ^2／２）ｄｘ　＋　∫[x=0⇒2]（９／２　－　９／２・ｘ^2）ｄｘ

あとは、簡単です。