数学の問題の解法を教えてください。

質問

分野がバラバラですが…。

1. 0≦α≦βを満たす実数α、βと二次式f(x)=(x-α)(x-β)について　

.......1　
　　∫ f(x)dx=1
.....-1

が成立しているとき定積分

.......α
　S=∫ f(x)dx
...... 0

をαで表しSの最大値を求めよ。

2.　五角形ABCDEは半径1の円に内接し∠EAD=30°∠ADE=∠BAD=∠CDA=60°である。
ベクトルAB=ベクトルa、ベクトルAB=ベクトルb、∠CADの二等分線とCDとの交点をP　とする。
この時ベクトルAPをベクトルaとベクトルbで表しベクトルAPの大きさを求めなさい

3.aを実数とするとき次のxの四次方程式の異なる実数解の個数を求めよ

x^4 + (a-3)x^3 + (9-a)x^2 + (a^2 -13)x + 6(a+1) = 0

よろしくお願いします。

回答No.4

info22_

No.1～No.3です。

2．について

ANo.3の補足の訂正
>ベクトルAE=ベクトルb

AB↑=a↑, AE↑=b↑
と書き、外接円の中心をOとする。
（図を描くと添付図のようになります。
　以下、図を参照しながらご覧下さい。）

三角形の角の2等分線定理より
　CP:PD=AC:AD(=m:nとおく）
AP↑=(nAC↑+mAD↑)/(m+n) ...(1)
∠AED=90°より直角△ADEで三平方の定理を用いて
1^2+b^2=2^2 ∴b=√3 ...(2)
また　a=AO=1 ...(3)
AC=AE=b=√3, AD=2
∴m:n=√3:2 ...(4)
(1)より
　AP↑=(2AC↑+√3AD↑)/(2+√3) ...(5)

　AC↑=AB↑+BC↑=a↑+AO↑=a↑+(1/2)AD↑ ...(6)
　AD↑=AE↑+ED↑=b↑+AB↑=b↑+a↑ ...(7)
(6),(7)より
　AC↑=(3/2)a↑+(1/2)b↑ ...(8)
(7),(8)を(5)に代入
　AP↑=(3a↑+b↑+√3a↑+√3b↑)/(2+√3)
　　={(3+√3)a↑+(1+√3)b↑}/(2+√3)
分母の有理化をすると
　AP↑=(3+√3)(2-√3)a↑+(1+√3)(2-√3)b↑
　　=(3-√3)a↑+(√3-1)b↑ …　2.の答え

　AP^2={(3-√3)a↑+(√3-1)b↑}・{(3-√3)a↑+(√3-1)b↑}
　　=(3-√3)^2*a^2+(√3-1)^2*b^2
　　+2(3-√3)(√3-1)a↑・b↑
(2),(3) および a↑⊥b↑より a↑・b↑=0から
　AP^2=(3-√3)^2*1+(√3-1)^2*3
　　=12-6√3+3(4-2√3)=24-12√3
∴AP=2√(6-3√3)　…　2.の答え

回答No.3

info22_

続いて2．ですが、
問題に重大な不備があるので回答不可能です。

訂正を補足頂けませんか？
>ベクトルAB=ベクトルa、ベクトルAB=ベクトルb
同じ、ベクトルABとなってますが、ミスでしょう。
訂正を補足願えませんか？

補足

大変申し訳ありません。
ベクトルAE=ベクトルb　でした。すみません。

回答No.2

info22_

続いて
3．だけ
x^4+(a-3)x^3+(9-a)x^2 +(a^2 -13)x+6(a+1)=0 ...(1)
aについて整理
xa^2+(x^3-x^2+6)a+(x-1)^2*(x^2-x+6)=0 ...(2)
たすき掛け法により因数分解
1　　(x-1)^2　=　x^3-2x^2+x
×
x　　x^2-x+6　=　x^2 -x+6
---------------------------
　　　　　　　　x^3 -x^2 +6

(a+(x-1)^2)(xa+x^2-x+6)=0 ...(3)
(x^2-2x+1+a)(x^2+(a-1)x+6)=0 ...(4)
x^2-2x+1+a=0...(5) または x^2+(a-1)x+6=0...(6)

(5)の実数解の個数
判別式D/4=1-(1+a)=-a
　a=0の時 重解x=1(実数解1個),a>0の時 実数解0個(2虚数解)
　a<0の時 2実数解

(6)の実数解の個数
判別式D=(a-1)^2-24=(a-1+2√6)(a-1-2√6)
　a=1±2√6の時　重解x=-(±√6)(実数解1個)
　1-2√6<a<1+2√6の時　実数解0個（2虚数解）
　a<1-2√6,a>1+2√6の時　2実数解

以上まとめると
　a<1-2√6の時 実数解4個
　a=1-2√6の時 実数解3個
　1-2√6<a<0の時 実数解2個
　a=0の時 実数解1個（重解）
　0<a<1+2√6の時 実数解0個
　a=1+2√6の時 実数解1個(重解)
　a>1+2√6の時 実数解2個
となる。

回答No.1

info22_

まず 1だけ。
1．
f(x)=(x-α)(x-β)...(1) (0≦α≦β...(2))
∫[-1,1] f(x)dx=∫[-1,1] (x-α)(x-β)dx=1より
2(3αβ+1)/3=1 ∴ αβ=1/6 ...(3)
(2),(3)より 0≦α≦1/√6 ...(4)

S=∫[0,α] f(x)dx=∫[0,α] (x-α)(x-β)dx
=α(3αβ-α^2)/6 ...(5)
(1)を代入
S=α((1/2)-α^2)/6 (0≦α≦1/√6)...(6) ←1の答え
dS/dα=-(1/2){α^2-(1/6)}≧0 ...(7)
Sは　0≦α≦1/√6　で単調増加関数。
従って
α=1/√6（=β)の時 (6)のSは最大となり、
S(max)=(1/√6)((1/2)-(1/6))/6=√6/108 ←1の答え