確率統計:中央値

質問

確率統計の問題です。

f(x):[a,b]上に定義された確率密度関数(-∞<a<b<∞)

∫[a,b] |x-y|f(x)dx を最小にするyをy_0とするとき
y_0はXの中央値である(F(y_0)=1/2)ことを示せ

証明の方法がわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

noname#133363 · ベストアンサー

全部バラして整理するとそんな感じになるかもしれません（何かちょっと符号が違う気もするけど）。
まあでも整理する前に、∫(y, m]を抑えてしまうほうが楽っぽい。
この区間のxについては
|x-m|-|x-y|≦|y-m|=m-y
だから、∫(y, m]≦(m-y){F(m)-F(y)}。

他の区間の計算結果と合わせれば≦0になる。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

noname#133363

要するにmを中央値として、

任意のyについて∫( |x-m|-|x-y| ) f(x) dx≦0

を示せばいいんだよね。

例えばm>yの場合から考えて（fは[a, b]以外で0をとるように定義を広げると）、
∫=∫(-∞, y] +∫(y, m] +∫(m, ∞)。
1番目、3番目の積分は普通に計算、
2番目は被積分関数の積分区間上の上限に注意して、抑えることができる。

補足

ありがとうございます。

m > yのとき
∫( |x-m|-|x-y| ) f(x) dx =
y(1-2F(y))+m(1-2F(m))+2∫(y,m]xf(x)dx … (i)
となりました。

等号成立 y=m のとき最小で 2m(1-2F(m)) = 0
で m≠0 のとき F(m) = 1/2 となるであろうことは予測できたのですが、

(i) ≦ 0 となる証明と
m=0のときの評価がわかりません…

そもそも式変形は(i)で合っているのでしょうか