中学生の数学／規則性の問題

質問

１．いろいろの多角形につて、２つのちょうてんを結んだときのにできる線分の本数と多角形の関係を
　　調べた。次の表はこのときの結果の一部を示したものである。問い１．１．と１．２．に答えなさい。
　　多角形の種類｜　三角形　｜　四角形　｜　五角形　｜　六角形　｜　・・・
　　――――――＋――――＋――――＋―――――＋―――――＋――――
　　線分の本数　｜　　３　　　　｜　　　６　　｜　　１０　　｜　　１５　　　｜　・・・

１．１．八角形のとき、２つの頂点を結んだときにできる線分の本数を求めなさい。

１．２．ｎ角形のとき２つの頂点を結んだときに出来る線分の本数を、ｎを用いて表しなさい。

以上の問題を、中学生の知識で説く方法を教えてください。

回答No.4

yaemon_2006 · ベストアンサー

多角形は凸多角形だと勝手に解釈して、

頂点の中から2点を選べば直線が1つ決まるので、
得られる直線の数は、頂点の数から2つ選ぶ組み合わせの数と等しい。

組み合わせの数はまだ習ってない?

お礼

回答ありがとうございます。

組み合わせの数は習っていました。最初から、そのように考えると、シンプルですね。
なお、問題に明記されていませんが、多角形は凸多角形です。凹多角形では、3つ以上の頂点が直線状に位置する場合などは、線分（の本数が減少しますね。

回答No.3

under12

寧ろ、三角形とか四角形で考えるから分かりにくいんじゃないかと思う。
存在する複数の点の個数として考えた方が分かりやすい。

例えば点が4つある場合で考えましょう。

１．一つの点から「他の」三つに線を引く事ができる。
２．そして、それが点の個数だけのパターンが存在する。
３．最後に線分ABとBAは同一なので、総個数の半分という事になる。

これと同様に点がn個の場合、（１）で(n-1)、(2)でn、（３）でその半分、
全てを掛け合わせれば、n(n-1)/2となります。

3，6，10，15で考えると数列とか組み合わせとかに及ぶかもしれないが、
事の本質を直視して考慮すれば、小学生レベルでも問題を解くのは可能です。
実際、私立中学の入試問題で見た事があるような気がします。

ファイト！

回答No.2

nattocurry

１つの頂点から、それ以外の頂点に線を引くと、（ｎ－１）本の線が引ける。
すべての頂点について、同じことをやると、（ｎ－１）×ｎ本の線が引ける。
だけど、すべての線は、行きと帰り？で２回ずつ書いてるから、２で割ると、（ｎ－１）×ｎ÷２本ということになる。

三角形：（３－１）×３÷２＝２×３÷２＝３
四角形：（４－１）×４÷２＝３×４÷２＝６
五角形：（５－１）×５÷２＝４×５÷２＝１０
六角形：（６－１）×６÷２＝５×６÷２＝１５

この計算式だと、与えられた値とも合う。

八角形：（８－１）×８÷２＝７×８÷２＝２８

ただ、この問題の場合、最初は表の
３、６、１０、１５
という値から規則性を見つけさせたいみたいですね。

三角形→四角形：３→６：＋３
四角形→五角形：６→１０：＋４
五角形→六角形：１０→１５：＋５
このことから、増える量が１ずつ大きくなっているので、
六角形→七角形：１５→２１：＋６
七角形→八角形：２１→２８：＋７

という方法で、２８という数字を出させたいようです。

１．１．の結果からどういう流れで１．２．を解くのかはよく解りませんが。

お礼

回答ありがとうございます。
実は、幾何学的とき方で、多角形のある頂点から、他の頂点に引くことが出来る線分は、辺と、対角線があり、辺は、n角形の場合n本、対角線は、自分自身の点と両隣の店には引くことが出来ないこと、n角形には、n個の頂点があり対角線は各頂点から引くことが出来るが、ある点から別の点への対角線は、反対方向でも同じ対角線となるため、対角線は、n(n-3)/2本、辺がn本と考え、線分の本数はn(n-3)/2+n=n(n-1)/2であることは、わかりました。
しかし、これでは問題に表が存在しており、1.1.から1.2.への流れが、回答に反映されていないように思いました。

回答No.1

shut0325

1.1　並びをみると、線分の本数の増え方は　3,4,5、、、と増えています。
そう考えると七角形は六角形の線分の本数に6を足した数で、21に。八角形はそれに7を足した28であると考えられます。

1.2　表を見ると、六角形の線分の本数は六角形（6）×五角形（5）÷2　の値です。
五角形は　5×4×（1/2）＝10　これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2　で表せます。

検算で八角形は　8×7÷2=28

お礼

回答ありがとうございます。
1.1.回答方法は、表を利用し、中学生らしい、規則性の推測から、回答を求め、検算することが出来る模範解答と思います。

1.2.の回答で「六角形の線分の本数は六角形（6）×五角形（5）÷2　の値です。五角形は　5×4×（1/2）＝10　これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2　で表せます。」というところが、なぜ、このように規則性を推定できたのかが、わかりません。この、なぜの部分をもう少し、解説していただけますか。
よろしくお願いします。