中学３年生の数学の問題です

質問

中学三年生の数学の問題です。

一辺が１cmの正方形の形をした黒と白のタイルがあります。この２色のタイルを次の方法でしきつめて、横の長さが縦の長さより１cm長い長方形を作ります。(ただし、長方形のたての長さは3cm以上とします。) このとき、あとの問いに答えなさい

『しきつめる方法』
(１)長方形の1番外側に黒いタイルを一列おく
（ 2 ）黒いタイルの内側はすべて白いタイルをしきつめる。

問(1)たてが6cmの長方形を作るときに必要な白いタイルの枚数を求めなさい。

問(2)この方法で長方形を作ったときに、白いタイルの枚数が黒いタイルの枚数より34枚多くなりました。この長方形のたての長さを求めなさい。

１パターンだけでなく、いろいろなやり方を知りたいのでたくさん教えてくれると嬉しいです

お願いします

回答No.3

noname#227255

問(1)
白いタイルで作る長方形に着目すると、縦(枚=cm)*横(枚=cm)は次のようになります。
1*2、2*3、3*4、4*5、・・・
このうち、4*5の場合に、長方形全体の縦の長さが4+2=6cmになります。
よって、必要な白いタイルの枚数は、4*5=20枚

問(2)
問(1)と同様に、白いタイルで作る長方形に着目して、この縦の枚数をxとすると横の枚数はx＋1
よって、白いタイルの枚数は、x(x+1)
長方形全体のタイルの枚数は、(x+2)(x+3)
これから、黒いタイルの枚数は、
(x+2)(x+3)-x(x+1)=4x+6
白いタイルの枚数が黒いタイルの枚数より34枚多くなったので、次の関係が成り立ちます。
x(x+1)=4x+6+34=4x+40－(a)
これを変形して、
x^2-3x-40=0
(x+5)(x-8)=0
x≧1であるからx=8になり、答えは8+2=10cm

※問(2)の別解
上の式(a)を次のように変形します。
x(x+1)=4x+40
x(x+1)=4(x+10)
x(x+1)/4=x+10
この式の左辺にあるxとx+1は、隣り合う2つの整数なので、一方が奇数でもう一方が偶数であり、この式の左辺が整数になるためには、xまたはx+1のいずれか一方が4の倍数である必要があるので、次のように考察します。（暗算でできます。）
x=3のとき、x+1=4、左辺=3*4/4=3、右辺=3+10=13となって不適
x=4のとき、x+1=5、左辺=4*5/4=5、右辺=4+10=14となって不適
x=7のとき、x+1=8、左辺=7*8/4=14、右辺=7+10=17となって不適
x=8のとき、x+1=9、左辺=8*9/4=18、右辺=8+10=18となって適
よって、答えは8+2=10cm
なお、この考察では、答えが1つに決まるという前提があるので、答えが1つに決まるという確証を得るためには、上の式(a)をxについての2次方程式として解くしかありません。

回答No.2

MSZ006

(2)
長方形縦の枚数をnとすると、(n≧3)
横の枚数は(n+1)。
内側の白の長方形の縦の枚数は(n-2)、横の枚数は(n-1)　となり、白の枚数は(n-2)(n-1)　である。
黒の枚数は、全体の長方形の枚数から白の枚数を引けばよいので、n(n+1)-(n-2)(n-1)　である。

白いタイルの枚数が黒いタイルの枚数より34枚多いので、
(n-2)(n-1)=n(n+1)-(n-2)(n-1)+34
整理すると、
(n-10)(n+3)=0
n=10,-3
n≧3より、n=10(答)

回答No.1

f272

実際に敷き詰めて数えればわかる。