数学：テキストの解説がわかりません。

質問

テキストの問題でわからない問題があるのですが、数字アレル
ギーなので、問題が解けないどころか解説を読んでもサッパリ
わかりません。

（問）
たて１８ｃｍ、よこ３０ｃｍの長方形のタイルを、すきまなく
かつ重なることなく敷き詰め正方形を作りたいか。正方形の１
辺の長さが４ｍ以上５ｍ以下のとき、タイルは何枚必要か。

という問題です。倍数や公約数を使った解説が記されてありま
したが、よくわかりません。

質問１；
なぜ倍数や公約数を使うとこの問題は解けるのですか？

質問２；
なぜ倍数や公約数を使えば解けるとわかるのですか？

質問３；
他の方法で解くことはできないのですか？

宜しくお願いします。

回答No.7

daikaisan

#6
訂正です。
18X=30Y・・・6X=5Y・・・(3)

正しくは
18X=30Y・・・3X=5Y・・・(3)

お礼

皆様、ご解説ありがとうございます。

質問投稿から予想以上にはやく多くのご解説をいただき、
驚いています。テキストですと自分なりのつまづきポイ
ントの説明がないので苦戦していました。

失礼ながら、こちらにまとめてお礼コメントを投稿させ
ていただきます。ありがとうございました。

回答No.6

daikaisan

質問２；
なぜ倍数や公約数を使えば解けるとわかるのですか？
ここで、答えてらっしゃるかたがたは、問題をみただけで、倍数や公約数の問題だと瞬間的に分かったはずです。

「タイル」を、・・・「正方形」を作りたい
をみただけでわかってらっしゃるはず。
これは、問題パターンを記憶しているってことです。

なにか、問題解法の暗記というと、数学らしからぬ・・・とお思いかもしれませんね。
しかし、受験数学には、あたりまえのことです。
また、古代のユークリッドから、ライプニッツ・ニュートンへと近代数学へと発展してく過程のことを、生まれたての私たちがマスターしようとするとき、はじめから公理を発見・思考していては、まにあいません。先人の知恵を覚え、マスターした上での発展ですから、「暗記」「知っている」って上に立って、私たちは問題がとけており、実用的に数学が利用できるのです。

質問１；
なぜ倍数や公約数を使うとこの問題は解けるのですか？

正方形を作るということ・・・縦の長さと横の長さ　縦、横を○cmとすると。
たて１８ｃｍ、よこ３０ｃｍの長方形のタイルをつかって正方形をつくるのだから、できた正方形の縦・横を○cmとしたから
１８×□＝○　たてに敷き詰めたタイルの枚数・・・□
３０×△＝○　たてに敷き詰めたタイルの枚数・・・△
ここまで書いてみると、正方形の一辺、○cmは、
１８に何かをかけた数でもあり、３０に何かをかけた数でもあります。
１８に何かをかけた数・・・１８の倍数
３０に何かをかけた数・・・３０の倍数
両方に共通な倍数ということで、１８と３０の公倍数ってことになりますね。
１８と３０の最小公倍数・・・９０
最小公倍数・・・一番小さい１８と３０の倍数なので
□□
□□・・・これを縦横９０cmの正方形とすると、出来上がる正方形の一番小さいものですね
□□■■
□□■■
■■■■
■■■■　９０×２　これが２番目にちいさい正方形
と、９０×３、９０×４・・・・とつづきます。
辺の長さが４ｍ以上５ｍ以下のとき、タイルは何枚必要か。
５００cm÷９０＝５・・・５０なので、
一辺が４５０センチの正方形があてはまりますね。
これがなぜ、公倍数を使って解けるかという道筋です。
以下はご自分でお考えください。

質問３；
他の方法で解くことはできないのですか？
たて、よこに使うタイルの枚数を、X、 Yとすると
400≦18X≦500
400≦30Y≦500
X,Yは整数だから
23≦X≦27・・・(1)
14≦Y≦16・・・(2)
18X=30Y・・・6X=5Y・・・(3)
(1)(2)(3)の整数方程式をとけばよい。
(3)でX,Yは5又は6の倍数ということで(1)、(2)から答えが出ます
以下はご自分でお考えください。

回答No.5

noname#71905

実際に作ることを考えてみると良いのではないでしょうか

●１枚，２枚，３枚，４枚，５枚，６枚，・・・・と同じ向きに
　　横に並べると、
　　　横は、30，60，90，120，150，180，・・・・と、30の倍数になります
　　縦に並べると、
　　　縦は、18，36，54，72，90，108，・・・・と、18の倍数になります

●正方形なので、縦と横の長さがそろい、これが正方形の１辺となります。
　　つまり、30の倍数と18の倍数が等しくなればよいことになり
　　これが、公倍数{90，180，270，360，450，540・・・というわけです。

☆これで
質問１：なぜ倍数や公約数を使うとこの問題は解けるのですか？
質問２：なぜ倍数や公約数を使えば解けるとわかるのですか？
→この問題では、縦・横の長さが倍数になる。
→正方形の性質から、縦・横の長さが等しくなる
→倍数が等しくなるものをさがす。
→公倍数を考える{
→条件(４ｍ以上５ｍ以下)に合うもの{450cm→4.5m}が答となります。

☆
質問３：他の方法で解くことはできないのですか？
他の方もおっしゃっているようにいろいろあります。
【１つの例】
　{縦 x枚，横 y枚}(x，yは自然数)とすると、{縦 18x(cm)，横 30y(cm)}
　　ただし、400≦18x≦500，400≦30y≦500　から、23≦x≦27，14≦y≦16
　　正方形なので、18x＝30y　これから、3x＝5y　で、xは5の倍数，yは3の倍数
　　条件の範囲から、x＝25，y＝15　となり、18＊(25)＝30＊(15)＝450
　　よって、正方形の一辺は、4.5m

回答No.4

okiku0817

いろいろ考えても解けないあまり、混乱してしまってませんか？おそらく他の問題についても同様に混乱していると私は推測します。
ここは一つ、算数の大原則にかえってみましょう。求めたい値を変数のXとYに置き換えます。
ここでは、縦の枚数をX、横の枚数をYと置きます。すると、縦と横の長さが同じになるわけですから、18*X=30*Yという数式が成り立つのが分かります。更に分かりやすく分解すると、2*3*3*X=2*3*5*Yまで分解できます。ここまでくれば気が付きますよね。簡潔な形にすれば、3*X=5*Yという式が成り立ちます。つまり、XとYの枚数の比は5:3である。Xは5の倍数の枚数であり、Yは3の倍数の枚数である。ところまでわかります。仮に、X（たて）が5枚でY（よこ）が3枚ならば、それぞれ90cmになり、400cm以上500cm以下にはなりません。この条件を満たすのはX=25枚の時の450cmしか満たさない事になります。もちろん、その際のYは比率から逆算して15枚ということになりますが。
上記の文章中にも「倍数」という言葉が出てきました。しかも、「分解する」という言葉も出ました。これは質問者のいう「公約数を求める作業」だと思うのですが。しかし、これは問題を解く上で必然的に出た解法であり、問題文章を読んだときから「この問題は公約数を求めて・・・」と考えるわけではないと思います。やはり、受験数学における文章問題においては、求めたい値を変数に置き換える⇒方程式をたてる⇒方程式を解く　が基本だと思うので、あれこれ難しい事は考えず基本に立ち返ってみてください。

回答No.3

noname#47894

>質問１；
>なぜ倍数や公約数を使うとこの問題は解けるのですか？

まず、タイルをすべて同じ向きに並べるものとします。
たて１８ｃｍのタイルを同じ向きに並べると、
個数：全体の縦の長さ
１個：１８ｃｍ
２個：３６ｃｍ
３個：５４ｃｍ
…………………
となります。縦の長さは、１８の倍数です。
横も同様に考えます。
縦の長さ＝横の長さの時が正方形ですので、公倍数を考えればよいことになります。
（もしも、ここがわからなければ、あなたは倍数や公倍数という言葉の意味を理解していないということになります。）

>質問２；
>なぜ倍数や公約数を使えば解けるとわかるのですか？

質問１の答えと同じです。個数を徐々に増やして、全体の縦の長さを調べたら、１８の倍数になるから、それを使えばよいとわかります。また、２回目以降にこの問題を解く人は、経験的にこの方法を使うでしょう。

>質問３；
>他の方法で解くことはできないのですか？

他の方法とまではいえませんが、次のように考えてもよいでしょう。
４ｍの長さを１８ｃｍ毎に切っていくと、４ｃｍ余ります。
よって、１８ｃｍ毎に切っていって余りがでないような長さは、４ｍ１４ｃｍ、４ｍ３２ｃｍ、４ｍ５０ｃｍ……………。となります。
（これらは１８ｃｍの倍数のうち、４ｍと５ｍの間のものを数えているのと同じです。）
同様のことを、３０ｃｍ毎に切っていくケースでも考えます。
その中に、共通の長さがあるはずです（公倍数の一つを求めたことになる）。それが、正方形の大きさとなります。そこから個数を求めます。いずれにせよ、やっていることは、倍数や公倍数を使っているのと同じです。

数学で使われる言葉（ここでは倍数、公倍数、約数、公約数）を、自分なりに説明できますか？　それができなければ、その言葉を使った解説は理解できないことでしょう。

回答No.2

Meowth

＞なぜ倍数や公約数を使うとこの問題は解けるのですか？
というより、
とこうと思ったら、必要になる
ということでしょう。
先に解答をみるから、上のような疑問になるのでは、
＞他の方法で解くことはできないのですか？
と考えて、簡単な方法、簡単に思いつく解法が倍数や公約数
を使う方法だとおもいます。
一番簡単な場合を考え、すべて同じ方向に並べるとすると、
できた正方形のいっぺんをXｃｍとすると、
Xは
４００＜ｘ＜５００で
１８と３０の公倍数でなければいけません。
１８＝２×3×３
３０＝２×3×５
だから、最小公倍数９０ｃｍごとに正方形になるところがあります。
結局いっぺん４５０ｃｍの正方形しかできないことがわかります。

縦向き、横向きが混在するときは、話がだいぶ複雑になります。
それでも、３０ｃｍを縦にしてならべ、そのよこに横向きにした
タイルを並べると９０ｃｍになるまでは続けないと段差ができて
しまいます。
きれいな形になるのは、30が3枚、18が横向きに5枚ならんだ
縦９０ｃｍ　横４８ｃｍのブロックです。
これを同じ方向に並べると、
４８と９０の最小公倍数にならないと正方形にはなりません。
一辺は720cmになってしまいます。
などなど、縦向きにｎ個横向きにｍ個並べて長方形ができるかを
考えるのにも、最小公倍数などが必要になってきます。

回答No.1

DIooggooID

長方形を組み合わせて、正方形を形作るので、・・・

　たて１８com の倍数と、よこ３０cm の倍数とが同じになるように（公倍数）長方形を並べれば正方形になることは、ご理解いただけますか？

|||||||||||
|||||||||||
|||||||||||
|||||||||||

　こんな感じです。