論理と数学

質問

nが２以上の整数,a,bを0以上の整数とする。
nが奇数であり,かつ素数でないならば,a^2-b^2=nを満たすa,bが存在することを示せ。

解:a^2-b^2=nから (a+b)(a-b)=n・・・(1)
nは奇数であり,素数でないから,n=pqとなる奇数p,q(n>p>=q>1)が存在する。
よって,(2)を満たすa+b,a-bの１つはa+b=p,a-b=qすなわち・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
１つはとありますが、a+b=p,a-b=q以外にないので１つはと書く必要あるんですか？？

回答No.3

ichiro_abe · ベストアンサー

まず、
>a+b=p,a-b=q以外にない
というのは誤解です。
p,qというのはnを2数の積にした場合の2数の組の候補の代表であり、
そのうちの一つをとって
>(2)を満たすa+b,a-bの１つはa+b=p,a-b=q
としています。

たとえば、n=81ならば(p,q)としては(27,3),(9,9)の2つがあります。
そのうちの一つ(27,3)を(p,q)としてとってきて、
「(2)を満たすa+b,a-bの１つはa+b=27,a-b=3すなわち…」
という風に述べていると考えればよいでしょう。

次に、「１つは」の記述について解説します。

問題は「～が存在することを示せ」です。
このように存在を証明する場合はたくさん存在するものを全て示す必要はなく、
一つの存在を示せばそれでいいのです。

たとえば、「飛ばない鳥は存在するか」との問題に対しては、
「ダチョウ、エミュー、それからペンギン…」と必要以上に答える必要はなく、
「ペンギンいるでしょ」と答えるだけでかまいません。

ですから、この問題でも各nに対してa,bの組1つを答えるだけでよく、
解答はそれをねらって「１つは」と記述しているのです。

お礼

丁寧な解説　本当にありがとうございます。
できれば、これからもよろしくお願いします。

回答No.2

nag0720

＃１は間違いです。

n=pq　となるp,qは１通りだけとは限りません。
たとえば、n=45の場合、45=15×3=9×5　となるので、
a+b=15,a-b=3
a+b=9,a-b=5
の２通りあります。

回答No.1

nag0720

a+b=q,a-b=p　もあります。