数学の問題で困っています！

質問

nを１以上の整数とするとき、次の２つの命題はそれぞれ正しいか。
正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。

命題p：あるnに対して、√nと√n+1はともに有理数である。
命題q：すべてのnに対して、√n+1-√nは無理数である。

回答No.1

noname2727

命題pの否定は
すべてのnに対して√nか√（n+1）の少なくともどちらか一方が無理数
このことを示します。
√n、√n+１がともに有理数であると仮定します。
nが1以上の整数なので、√nが有理数である条件は√nが整数であることと同値です。
よって整数kを用いて
√n＝k
と表せます。
よって　n＝k＾２

√（1+n）＝√（1+k＾２）
ですがこれは無理数です。
よって矛盾

命題qは命題pの否定が成立するので明らかに正しい。