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質問

表題のような、2以上の整数nについて小数点以下h進法（hは2以上）展開したもの、nの2乗をh進法展開したもの、・・・、nのk乗をh進法展開したもの、・・・を並べて表示することで得られるh進法数が無理数であることの証明について質問があります。

(問１)θ=logn/logh（nの対数をhの対数で割ったもの、対数の底は指定無し）が無理数の場合、任意の正整数Nについてある正整数pとqが存在して
p>N、|qθ-p|<log(1+h(-N))/logh
となるとあります。

本の説明ですと、

定理A[無理数αに対して|q(n)α-p(n)|<1/q(n)を満たす整数の無限列p(n),q(n)(n≧0)が存在する。すなわち|α-(p/q)|<1/(q^2)は無限個の有理数解p/qをもつ。]

を使うとありました。この理由がわかりません。
私の考えでは

定理B[任意の実数αと任意の整数Q>1に対して|α-(p/q)|≦1/(qQ)(0<q<Q)]

を使うのがよいと思いました。log(1+h(-N))/logh>0なのでこれを1/Qと見ています。
いかがでしょうか？

（問２）同じ定理の証明の続きで、qθ-p<0のとき、h^p>n^q>h^p-h^(p-N)（この不等式の導出は省略）を言った後、あるq≧2に対し、n^qとn^(q+1)のh進法展開がh-1のみからなることを仮定して背理法を使う部分があります。qは既出なのでその与えられたqについて言っているのか、もとのqとは関係なくqの部分を新たたにqとしているのかがよくわかりませんでした。後者かなと思うのですがいかがでしょうか？そうであれば余分な曖昧さを排除するために別文字にしたほうがよくないでしょうか？

（問３）上の問の背理法の中身について、仮定からn^q=h^l-1,n^(q+1)=h^m-1(l<m)と書けるとありました。これは、mより小さい整数lでそういうものが存在すると読めばいいでしょうか？

（問４）上の問の続きで、h^l(n-h^(m-1))=n-1したがってh^l≦n-1とありました。「したがって」以降の部分は、n-1>0かつh^l>0だからn-h^(m-1)>0でなければならないのでn-h^(m-1)≧1だからという理由でいいでしょうか？

（問５）上の問の続きで、h^l≦n-1が矛盾とありました。これはh^l=n^q+1≧n^2+1≧2n+1>n-1だからという理由でいいでしょうか？

（問６）上の問の続きで、背理法が証明できたあと、h-1以外の数字が無限個現れる、とありました。これは、任意の整数kに対してk番目とk+1番目の両方が全部h-1のみからなることはない、つまりh-1より小さい文字が少なくとも一つあるということになり、1番目と2番目に少なくとも一つ、3番目と4番目に少なくとも一つ、・・・、k番目とk+1番目に少なくとも一つ、・・・h-1以外の数字がでてくるからという理由でいいでしょうか？

ちなみに、少なくとも2つの数字が無限個現れて任意の正整数Nに対してある一つの数字がN個以上連続的に現れたら無理数であるという別の定理を使ってθが無理数でqθ-p<0の場合の証明が終わり、θが無理数でqθ-p>0の場合とθが有理数の場合とをあわせてこの定理自身の結末が得られます。

たくさんあって申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

塩川「無理数と超越数」（森北出版）第1章定理5 (P. Bundschuh)ですね。

(問１)
定理B（というより定理3)では、「 p>Nと取れる」ことが示せません。
(問2)
実は私も初めに読んだときは混乱したのですが、別段落（いま、
あるq≧2に対し、以下のqは別物）です。
(問3)
∃m∃L such that [ (L<m) and (n^q=(h^L)-1) and n^(q+1)=(h^m)-1 ]
(問 4)
まず、h^L(n-h^(m-L))=n-1 です(1とLtとがごっちゃになっている）。
で、理由としては、結局
n-h^(m-L)が正「整数」になる、ということでその通りです
(問5)
正直に1 + n^q = h ^ L ≦ n - 1でよいのでは？
(問６)
はい

お礼

回答ありがとうございます。

補足

> (問１)
> 定理B（というより定理3)では、「 p>Nと取れる」ことが示せません。

なるほど、p(n)とq(n)は無限列だから任意のNに対してNを超えるp(m)やq(m)を与えるmが存在するということですね？

お手数ですが再度確認いただいていいでしょうか？

> (問 4)

転記ミスでした。失礼しました。

回答No.2

tmpname

>> (問１)
>> 定理B（というより定理3)では、「 p>Nと取れる」ことが示せません。

>なるほど、p(n)とq(n)は無限列だから任意のNに対して
>Nを超えるp(m)やq(m)を与えるmが存在するということですね？

その通りです。

お礼

ありがとうございました。