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P、qは有理数とする。√2 が無理数であること用い
P、qは有理数とする。√2 が無理数であること用いて次の命題を証明せよ。 P+q√2=0 => P=q=0 全くわかりません。教えてください。
- tawasi8392
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- 178-tall
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p+q√2 = 0 … (1) ↓ -(p/q) = √2 題意により{p, q} がともに非零なら左辺は有理数。右辺は無理数。これは、題意により不成立。 {p, q} がともに零なら、(1) は成立。 … てな調子？
- info222_
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q≠0と仮定すると P+q√2=0 ...(1), より P=-q√2 ...(2) qはゼロでない有理数,√2 は無理数であるから q√2は無理数。 (2)の左辺は有理数, 右辺は理数となって矛盾。 よって仮定は不成立。 したがって q=0 (2)より P=0 以上から P=q=0 (証明終わり)
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- asuncion
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q ≠ 0と仮定して矛盾を導く。 q ≠ 0であるから、p + q√2 = 0を変形して√2 = -p / qを得る。 この式の両辺を比べると、左辺の√2は問題文より無理数。 右辺の-p / qは有理数同士の演算であるから有理数。 よって、無理数 = 有理数となって矛盾。 ∴q = 0 このとき、p + 0√2 = 0で、0√2は明らかに0であるから、p = 0 ∴p = q = 0
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ありがとうございました