数学Ａ二項定理

質問

Nを自然数として、xy平面上の点Ａ(n,n)と原点Oを結ぶ線分を対角線とする正方形の周上または内部に、座標が整数であるような異なる2点P,Qをとるとき、次の問いに答えよ。（１）線分ＰＱのとり方は何通りあるか。（２）線分ＰＱが座標軸上にあるか、または座標軸に平行となるとり方は何通りあるか。（３）線分ＰＱの長さが（ルート２）となるようなとり方は何通りあるか。（４）線分ＰＱが対角線ＯＡと共有点をもつようなとり方は何通りあるか。
答え；（１）(n+1)^2C2=n(n+1)^2(n+2) /2とおり　　（２）2×n+1C2×(n+1)=n(n+1)^2とおり(3)2n^2とおり (4)n(n+1)(n+2)(n+3)/4とおり

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

(1)
正方形の中の座標が整数の点の数は、(n+1)^2個
その中から２個の点が決まれば線分が確定するので、
(n+1)^2C2=(n+1)^2((n+1)^2-1)/2=n(n+1)^2(n+2)/2

＃１さんは、線分ＰＱと線分ＱＰが同じかどうかという疑問を書いていますが、
線分とは２つの点に挟まれた直線の部分であり、方向性を持っているわけじゃないので、線分ＰＱ＝線分ＱＰとしてかまいません。

(2)
x軸上の線分の数は、n+1個から２個選べばいいから、
(n+1)C2
x軸に平行な直線の数はn+1本あり、y軸についても同様なので、
(n+1)C2×(n+1)×2=n(n+1)^2/4

(3)
点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)でできる一番小さい四角形の２本の対角線は長さ√２の線分です。
逆に、√２の線分が決まれば、それを対角線とする同じ大きさの四角形が１つ決まります。
正方形の中には小さい四角形がn^2個あるので、
2n^2

(4)
線分ＰＱが対角線ＯＡと共有点を持たないのは、点Ｐ,Ｑとも対角線ＯＡで分けられた部分の片方の側に有る場合です。
対角線ＯＡ上の点はn+1個なので、対角線より左上にある点の数は、
{(n+1)^2-(n+1)}/2=n(n+1)/2
その中の線分の数は、
(n(n+1)/2)C2=(n(n+1)/2)(n(n+1)/2-1)/2=n(n+1)(n+2)(n-1)/8
右下も同様なので、対角線ＯＡと共有点をもつ線分の数は、
n(n+1)^2(n+2)/2-(n(n+1)(n+2)(n-1)/8)×2=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

回答No.1

info22_

(1)
「線分PQのとり方」として
P(m,n)とQ(p,q)が異なる点の時、問題文からは
「P(m,n)とQ(p,q)を結ぶ線分」と「P(p,q)とQ(m,n)を結ぶ線分」を異なる線分とみなす
と取れます。
そうすると(1)の答えは
((n+1)^2)Ｃ1・((n+1)^2-1)Ｃ1=((n+1)^2)・((n+1)^2-1)=((n+1)^2)・n(n+2) 通り…(☆)
となります。

>答え；（１）(n+1)^2C2=n(n+1)^2(n+2) /2とおり
の2倍になります。

お書きの答えは
P(m,n)とQ(p,q)が異なる点の時、
「P(m,n)とQ(p,q)を結ぶ線分」と「P(p,q)とQ(m,n)を結ぶ線分」を同じ線分とみなして
カウントした場合の答えになります。つまり、同じ線分とみなすため通り数は2通りの重複分を1通りとみなすため(☆)の通り数を2で割った通り数ということです。
任意の異なる点を結ぶ線分のとり方（両端にP,Qの記号がついていない線分のとり方）であれば2重カウントしていけませんから「お書きの答え」になります。

問題文の書き方が、上のカウントの仕方を区別できるような書き方を工夫しないと、問題があやふやになって、適切ではないですね。

上記のあやふやさは、問(2),(3),(4)についてもあてはまります。

答えから問題の答えを作成した人は、
異なる2点A,Bを
「P(A),Q(B)とした場合の線分PQ」
と
「P(B),Q(A)とした場合の線分PQ」
を同じ線分と考えて答えを導出していますが、
問題文からは異なる線分として扱い2通りとカウントする書き方と受け取れます。
（同じ線分とみなすという条件が書かれていないため）

質問者さんは、このあやふやさのある問題文をどう考えですか？
ここらをはっきりさせて下さい。