位置エネルギーについて

質問

たびたび申し訳ございません。
またよろしくお願いします。

位置エネルギーを求める問題ですが
X軸上を運動する質点に

F = - k / x^2　が働くときの位置エネルギーを求める
問題
（ただし、ｋは定数、位置エネルギーの基準点をx=∞）

なのですが

１、この「F = - k / x^2　」はどのような運動なのでしょうか？イメージがわきません。

２、∫の上と下どちらに∞を書くのか、それともう片方の文字は何にすればいいのか

３、とき方

を教えていただけませんでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.3

ticky · ベストアンサー

１．引力で、大きさがx^2に反比例します。式としては、重力などと同じで、近づけば近づくほど、力の大きさが急に大きくなっていきます。

２．∞をおくのはどちらでも良いと思います。
ある地点から無限遠の所へ持っていく仕事をするか、その逆か（無限遠の地点からある地点まで持ってくる仕事をするか）の違いです。前者の場合、-k/x^2の力を物体にかけて、無限遠に持っていくのでそのまま無限遠まで積分すればよいのですが、後者の場合、物体を動かす方向とは逆に力がかかってますから負の仕事になるので、「-」をつけてから、無限遠から、位置について積分をします。一般的なのは後者の方です。

片方の数字は、たとえば仮にαと置いてみて、積分後に、αをxに置き換えれば解けます。
#1の方のように解くのが本式ではありますが、同じことです。

回答No.4

1Yen

> 「基準点を x_0」
> の　　　x_0　のアンダーバーのいみはなんでしょうか？

書かれていますが、TeXというアプリケーションの書法で「_」は下付き「^」は上付きを示しています。
それをふまえた上で、一般的に変化前の初期状態を x_0 と書き、
変化後の値を x と書きます。

ですから、等加速度運動の公式は下のように習ったと思います。
初速度 v_0, t秒後の速度 v, 加速度 α, 時間 t,
v = αt + v_0

回答No.2

KENZOU

ニュートンの万有引力の法則というのをご存知ですね。m1,m2の質点に働く力(=F)のことで、今質点m1とm2の距離をrとし、m1を原点に固定した場合質点m2の受ける力は
　　Ｆ＝－Gm1m2/r^2　　(1)
で表されるというものですね。
１）さて問題の
　　F＝－k/x^2　　(2)
はまさに(1)の形と同じですね。
２）と３）位置エネルギーをＵとすると、いま位置エネルギーの基準点を∞の距離に置いていますから、∞の位置から距離ｘまで質点を動かしたときの仕事量がＵになります。これを積分で表すと
　　Ｕ＝－∫[∞,x]Ｆdx＝∫[∞,x]k/x^2dx　　(3)
となります。(3)を計算するのに不定積分の公式
　　∫k/x^2dx＝－k/x　　(4)
を使うと
　　Ｕ＝－[k/∞ーk/x]＝k/x　　(5)
が求める答えとなります。

回答No.1

ElectricGamo

>１、この「F = - k / x^2　」はどのような運動なのでしょうか？イメージがわきません。

重力です。万有引力の法則 F= - GmM/R^2 で GmM→k, R→x とすれば同じ形ですよね。

>２、∫の上と下どちらに∞を書くのか、それともう片方の文字は何にすればいいのか
>３、とき方

位置エネルギーを U(x) とし、基準点を x_0 とすれば、位置エネルギーの定義から

U(x) - U(x_0) = - ∫_{x0}^{x} F(x) dx

です。_{}は下、^{}は上側です。これに具体的な式を入れると

U(x) - U(∞) = - ∫_{∞}^{x} (-k/x^2) dx = [-k/x]_{∞}^{x} = -k/x

x=∞で U(∞)=0 と置けば U(x) = -k/x です。

補足

「基準点を x_0」

の　　　x_0　のアンダーバーのいみはなんでしょうか？