硬貨を使った場合の数

質問

10円玉3枚、100円玉7枚、500円玉3枚使って支払うことができる金額は何通りあるか?

という問題があり解答は次のようにありましたが、

百円玉５枚　⇔　五百円玉１枚
という両替ができる場合は重複しますので、差し引かないといけません。

両替できる場合とは・・・
Ａ　百円玉５～７枚で、かつ、五百円玉０～２枚
Ｂ　百円玉０～２枚で、かつ、五百円玉１～３枚
Ａを両替すると、百円玉２～７枚、五百円玉１～３枚　つまり、Ｂになりますから、
重複部分として差し引くのは、ＡかＢのいずれか一方です。

ゼロ円も含めて何通りあるかを計算すると、
（３＋１）（７＋１）（３＋１）　－　Ａの場合
　＝　４・８・４　－　４・３・３
　＝　１２８　－　３６
　＝　９２通り

ゼロ円を含めないとすれば、仕上げに１を引いて
９２　－　１　＝　９１通り

この場合の「４・３・３」は１０円玉４通り、１００円５枚、６枚、７枚の３通り、５００円０、１，２枚の３通りですが、１００円の３通りを含む組み合わせが重複で引かなければいけないのはわかるのですが、このとき、５００円の３通りの組み合わせを引いてしまうと５００円１枚、２枚を使った金額の場合がまったくなくなってしまわないでしょうか？

回答No.1

mmk2000 · ベストアンサー

＞このとき、５００円の３通りの組み合わせを引いてしまうと５００円１枚、２枚を使った金額の場合がまったくなくなってしまわないでしょうか？

ならないでしょう。
なぜなら、これは
10円４通り＆１００円「５枚か６枚か７枚」の３通り　のときの５００円０，１、２枚を考えているわけで、
10円４通り＆１００円「０～４枚」の５通り　のときの５００円０，１，２枚の時は最初の計算の中にしっかり含まれていますから。

お礼

ありがとうございました。