硬貨を使った場合の数

質問

100円玉が3枚、50円玉が1枚、10円玉が7枚で何通りの金額がつくれますか。」という問題があるのですが、重複をなくして１００円が４枚、１０円が２枚として５通り×３通りと考えてしまうのですが、解答は４２通りです。

こういう問題はいろいろあるのですが、一概にこれだという解答方法がないみたいで難しいです。
問題ごとに解答方法が違ってよくわからなくなってきました。
このようなこれと類似の問題何に注意してどう解いていったらよいでしょうか？

回答No.2

staratras · ベストアンサー

>重複をなくして１００円が４枚、１０円が２枚として５通り×３通りと考えてしまうのですが、

もしかしたら、質問者様は次のように考えられたのではないですか。
１０円硬貨５枚は５０円硬貨１枚に交換できる、そうすると５０円硬貨が２枚になるのでこれは１００円硬貨１枚に両替できる。そうすると１００円硬貨４枚、１０円硬貨２枚になり、１００円は０枚から４枚までの５通り、１０円は０枚から２枚までの３通りだから、求める組み合わせは、５通り×３通り。

この考え方の最大の問題点は、「作り得る金額が何通りかを考えるとき、１０円５枚と５０円１枚は同じではない」ということです。１０円５枚なら１０円から５０円までの５通り作れますが、５０円１枚ではもちろん５０円１通りしか作れません。５０円２枚と１００円１枚も同じではありません。あと細かな点をいえば、作れる金額には一般に０円は含まれないので、０枚と０枚の組み合わせを除く必要もあります。

こうした問題は、ご質問にあるように、「一概にこれだという解答方法がない」ので、基本的には問題ごとの条件に応じて考えるしかありませんが、この問題を含む多くの場合に有効な考え方は、

1.作れる最低の金額と最高の金額に注目する
2.その間に金額が増加する単位を調べる
3.途中で作れない金額がないか調べ、作れる金額が何通りか求める。ということです。

当然のことながら、作れる最低の金額は「最低金額の硬貨１枚だけ使うとき」で、最高の金額は「硬貨を全部使うとき」になります。

この問題でいえば、
1.最低は１０円、最高は100×3+50×1+10×7=420　４２０円です。
2.金額が増加する単位は１０円です。
3.１０円が４枚以上あり５０円が１枚あるので、最低から最高までの金額の途中で１０円刻みで作れない金額はありません。したがって１０円から４２０円までの４２通りが解答になります。

なお余談ですが、現在のそろばんは各桁の上の段に５を表す玉が１つ、下の段に１を表す玉が４つあって、０から９までのすべての数を表すことができます。上記の3はこれを５０円玉と１０円玉で置き換えたイメージで考えればわかり易いかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

kuima

問題をよく読み、条件を絞っていくことぐらいしかないかな。

>１００円が４枚、１０円が２枚として５通り×３通りと考えてしまうのですが、
なんでこう考えたのかわからないです。>[５通り×３通り]

>100円玉が3枚、50円玉が1枚、10円玉が7枚で何通りの金額がつくれますか。

この問題の場合、硬化の使用枚数は決められてないので、必ず硬化を使用しなければならない場合。

　[硬化１枚使用した最小金額～全てを使用した場合]が当てはまると思います。
　　　　　　　　　　　　　１０円～４２０円まで
よって４２通りだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。