微分の極限値がわからんのです

質問

lim 　　cosx
x→π/2 -------
　　　　　　x-π/2

という問題です。xをtに置き換えて考えるのという考え方でいいのでしょうか？それでも、どのように置き換えていけばいいのかが分かりません。解き方とアドバイスがあればおねがいします。

回答No.2

mirage70 · ベストアンサー

１ばん簡単に求める方法は、π/2を分子、分母に入れると、0/0となっておりますで、分子、分母それぞれを微分しまして、π/2を入れればよいです。
-sin(π/2)=-1
但し、高校ではこの方法でよいのですかね。

回答No.4

KENZOU

＃３のitsukiさんがロピタルの定理のことをいっておられるので簡単にその概要を書いておきます。尚、高校ではこの定理は習わない（大学の教養で習うのかな）とのことですが、とりあえず知っておいて損はないでしょう（笑い）。
２つの関数h(x)，g(x)があって共に微分可能なとき
(1)h(a),g(a)＝０のケース
　　lim[x→a]h(x)/g(x)＝lim[x→a]h'(x)/g'(x)
が成立する。
(2)h(a),g(a)＝０のケース
　　lim[x→∞]h(x)/g(x)＝lim[x→∞]h'(x)/g'(x)
(3)h(a),g(a)＝∞のケース
　　lim[x→a]h(x)/g(x)＝lim[x→a]h'(x)/g'(x)
さて、与式のlim[x→Π/2]cosx/(x-Π/2)はt=x-Π/2とおくと
x→Π/2はt→0となりますから
　　lim[x→0]cos(t+Π/2)/t＝-lim[x→0]sin(t)/t
となって(1)のケースにあたるから
　　-lim[x→0]sin(t)/t＝-lim[t→0]cos(t)/1＝-1
となりますね。

回答No.3

itsuki

#1のものです。
#2の方の方法は、いわゆる「ロピタルの定理」といわれる定理です。
教科書には載っていませんが、参考書には載っているそうです。
（ちなみに私は高校生です）
以下は数学の先生が述べていました。
「ロピタルの定理と証明は高校数学の範囲外になっている。
　しかし
　「答えだけをマーク」すればいいような私大系のマークシートや
　答えを出したが、本当にあっているかなという時に
　「検算」として使うとか…
　覚えておいても損はないので、覚えておいてね。」（以下略）
だそうです。
答えがすぐに出るのでウラ技的に扱われているのでしょうか？
参考までに

回答No.1

itsuki

x-π/2＝t とでもおけば
与式はlimはt→0に置き換えられます。
後は頑張って下さい。