中１数学で躓いた子への教え方のコツ

質問

• 中学１年生に数学を教える際のコツとして、センセーショナルなタイトルを生成する。
• 中学１年生の数学の躓きには、手を動かす訓練が効果的であると考えられる。
• 中学１年生の数学の教え方には、小学校レベルの計算ドリルの活用や漢字の成り立ちを理解するなどの工夫が必要である。

回答No.8

sanori

Ｎｏ．４の回答者です。コメントにお答えします。

＞＞＞
「考えた事を、式に落とし込む」ということができないのは、手を動かすくせが
ない弊害のひとつかな？と感じたのです。
また、分からない問題であっても、分かるところまでは図形を描くとか式を書く
とかして（手を動かす）、自らに気付きを促す癖を付ける方が良いのではないか、
と思っていたのですが…
※もし、追加でこの点についてご教示いただけるようでしたら、またアドバイス
いただけますでしょうか。

具体的にどういう問題で、どのように書かせたいのですか？
よろしければ、いくつか補足に書いてください。

以下、蛇足。

私は小学校のとき、学校から渡された計算ドリルを１割もやりませんでした。
つまらなかったからです。
しかし、漢字の書き取りは一所懸命やりました。
次々と新しいものが身につく実感があったからです。

計算ミスはありました。
たとえば、１３－８＝５　を　７　に間違える癖がありました。
高校のときに自分で「これはまずい」と思い、高校生なのに、自らに引き算の特訓を課しました。

だからというわけではないのですが、私は単純な四則計算を繰り返すことの
重要度は、中学以上ではそんなに高くないと思うのです。
上記の私の引き算矯正のように、いつでもできることです。
計算で８０点を１００点にしても、前に進む感じがしない。
しかし、
意味をわかっていて文章題などを解き、結果、答えを間違った。
その理由は、最後の最後で九九を間違えたことだった。
惜しい。
せっかく解けるところだったのに、なんとつまらないところで間違えたものか。
そう感じる体験をさせることが大事です。
上に書いた私の引き算と同様、あなたが「まずい」と思うのではなく、子供に「まずい」と思わせなくてはいけません。

円周と円の面積を求める式がごっちゃになるのは、ケアレスミスの類です。
これは、「惜しい」「なんとつまらないところで間違えたものか」には該当しません。

円錐を上下引っくり返して底面を外した容器、
円柱の上の底面を外した容器、
なぜか、入る水の量は、ちょうど　１：３　になる。
１：２　でもないし　１：４　でもないし、　１：3.5　でもない。
ぴったり　１：３　になる。
あら不思議。
それだけを図で教えればいいんです。
理由が示されない無意味な図ですけど、感化されればよいです。
理由がわかるのは、定積分がわかってからですよね。
頂点からの下に行く方向の距離をｘと置いて、
体積　＝　底面積が　Ｓ・（ｘ^2／ｈ^2）　で厚さがｄｘの薄い円盤の体積の集まり
　＝∫[0⇒h] Ｓ・（ｘ^2／ｈ^2）ｄｘ
　＝　Ｓ／ｈ^2∫[0⇒h] ｘ^2ｄｘ
　＝　Ｓ／ｈ^2・１／３・ｈ^3
　＝　１／３・Ｓｈ
　＝　１／３　×　底面積　×　高さ
　＝　１／３　×　円柱（角柱）の体積

＞＞＞
「何度も円周や円の面積を求める（必要の
ある）問題を繰り返しやって慣れることで覚える」のもひとつの方法ではないか
と思ったのですが…。

計算は計算。公式は公式です。
数学２０点の子ですよね。
計算を間違うのではなく、公式を間違うのですよね。
まずは日本語で、
「円柱に入る水の量は、底面積に高さをかけたもの。
　たとえば、底面積が５で高さが６だったら、５×１の浅い容器を６つ重ねたのと同じだから」
というふうに覚えさせ、覚えたら逆に説明をさせます。
直方体の体積の説明と、なんら変わりはありません。
次に、
「円錐に入る水の量は、（不思議なことに）同じ高さ・底面積の円柱に入る水の量の３分の１」
これを暗唱させるのです。

よく覚えていない状態で問題を繰り返させるのは、かえって頭をごちゃごちゃにさせることになります。
将棋の駒の動かし方を知らない人に、いきなり金と銀の両方の動かし方を覚えさせようとすると混乱します。
まずは金を教えておき、銀を教えるのは、どんなに早くても３日後です。

まずは計算ではなく公式を確実に覚えてもらいましょう。
くどいようですが、
「底面積×高さ÷３」
という公式ではありませんよ。
「円錐に入る水の量は、円柱に入る水の量の３分の１」
という「日本語の公式」です。

お礼

再度のご回答まことにありがとうございます。

補足もまた長くなってしまって申し訳ありません。

>意味をわかっていて文章題などを解き、結果、答えを間違った。
～～～
>子供に「まずい」と思わせなくてはいけません。
他の方からの回答でも同じようなご経験談を教えていただき、大変勉強になりました。本人が、計算ミスによってロスしているもったいなさを自覚するのが大切であり、考え方のマスターを優先すべきということですよね。
Aちゃんの場合、簡単な小テストやドリルへの取り組みは、親御さんへのアピール材料になるという面や◯がたくさんつくこと自体の喜びによって少なからず意欲向上には寄与していることが分かっていますので、無理の無い範囲で取り組ませようと考えています。

>円錐を上下引っくり返して底面を外した容器、
～～～
>理由が示されない無意味な図ですけど、感化されればよいです。
ここはちょうど、「円錐の体積は同じ底面と高さの円柱の体積の３分の１になるんだよ～不思議だね～」ということを、詳しく説明してある教科書を参考に実際に一緒に見直しました。が、感化された様子はありませんでした。私自身は、へーそうなんだ！と思ったのですが（恥ずかしい事に自分が過去に習ったということはサッパリ忘れていて、今回一緒に勉強して初めて知った感覚でした）。どこで感化されたり心が動かされたりするのかは個人差があるのかなと考えている部分なので、あの手この手で探ってみるのも必要かなと思っています。

>計算を間違うのではなく、公式を間違うのですよね。
～～～
>というふうに覚えさせ、覚えたら逆に説明をさせます。
例えば体積を考えるときの基本の基本まで戻るということですね。もう一度そこから考えさせるのも必要かもしれませんね。
分かっているところもあるのですが（例えば「円錐に入る水の量は、円柱に入る水の量の３分の１」は覚えている）、他にも分かっていないところを洗い出して、Aちゃんがきちんと理解できるまで粘り強く教えていこうと改めて思いました。

他の方のご回答にもありましたが、計算ミスには敢えて触れずに、式の立て方（問題の解き方、考え方）が式に表れれば良しとして教えていくのが、現在の単元をクリアするのに必要なのだろうと思いました。

たびたびの詳しいご回答、ありがとうございました。

補足

具体的な問題の例です。

・底面が3cm×4cm、高さが5cmの直方体の表面積を求めよ。
→立体図が問題に描いてある問題です。３つのペア（側面どうし、側面どうし、底面どうし）または一面ずつでもいいから、式を書いてほしいなと思いました。
実際に教えた時は、「表面積」の言葉の意味が分かっていませんでした。実際に手近にある箱状の物を見ながら、側面積、底面積は理解していることを確認し、「表面積」は側面積と底面積を全て足したものであると説明しました。その後、どのように求めればいいか尋ねました。口頭でさっき教えた考え方は正しく説明できたので、計算するよう促したら、式を書こうとせず、また口頭で「ここは3cm×4cmだからー…」というように答えました。そこで、「そうだね。ただ、紙に書かないと、どこが何平方cmか分かんなくなっちゃうから、ひとつずつでいいから式を書いて計算してみたら？」と説明して納得、「3×4×2=24、3×5×2=30…」という式の立て方で書く事ができました。

・底面の半径が3cm、母線の長さが4cmの円錐の展開図の中心角を求めよ。
→出来る子や公式が覚えられている子は必要ないのかもしれませんが、Aちゃんの場合試験まで時間がなかったのと公式（l=πr二乗×a／360といった公式）が覚えられなかったので、こういった問題の考え方（ご回答でおっしゃっている「日本語の公式」に当たると思います）を説明し、だいたい理解はできていました（完全ではないと思います）。
その際、考え方はなんとなく理解できていても、展開図が無いと「円錐を展開した時の側面の円弧が底面の円周と同じである」ことが思い出せないようだったので、まず円錐の展開図を描くようにアドバイスした、というのが、「図を描いた方が分かりやすいのでは」と思ったきっかけです。
また、例の問題では中心角が分かっていない場合ですが、例えば中心角と底面の半径が分かっていて母線を求める問題（問題に展開図あり）として出し直すと、側面の円弧までは式を書いて数字を出せるのですが、その先の式が書けなくなってしまいました。考え方を聞くと、「側面の円弧は、側面の円Oの円周に、360°分の◯°をかけたもの」ということは理解できているのですが、式が書けません。そこで「母線をrと置いて、rを求めたらどうかな」というヒントを与えました。またこの時も円周を求める式と面積を求める公式がごちゃませになってどちらだか分からなくなっていて、円周は直径×π（円周率）だよねとヒント。その後正しい式が書けましたが、今度は計算ができませんでした。文字の入った式の計算方法を忘れてしまっているようでした。
また、たまにπとx（代数）が混ざってしまうようで、２回に１回くらい、πをxと読み上げたり、πと書く時にxと言いながら書いたりします。それと、計算途中の式でπを書き忘れることが多いです。

円錐（の展開図）に関しての反省としては、Aちゃんが「なんとなく」の理解になっているのは、私自身が分かりやすく説明できていないせいではないかということです。例えば上記の「円錐を展開した時の側面の円弧が底面の円周と同じである」事実は実物を見れば覚えられるかなと考え、紙を切り貼りして円錐を実際に作ってみることをしたかったのですが、時間がなくできませんでした。実際に作ってみるというのは学校でもやったそうですが…。また、考え方が本当に"腑に落ちた"ら「l=…」の公式が覚えられるようになって、「公式を使えば、不明な部分（円弧でも底面の半径でも中心角でも）がどこであっても、式をいちいち立てなくて済むんだ。（だから）公式は便利なんだ」と実感できるようになるのかなと思いました。

長くてすみません。