グリーン関数とプロパゲータの関係（量子力学）

質問

ＪＪ桜井のP151に

[H''-ih (∂/∂t)] K(x'',t ; x',t_0) = -ihδ(x''-x)δ(t-t_0)　（hは以下でもバー略）

とありますが、

Ψ(x'',t) = ∫K(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx'

としてシュレディンガー方程式に入れようとすると、

[H''-ih (∂/∂t)] Ψ(x'',t)
= [H''-ih (∂/∂t)]∫K(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx'
= ∫[-ihδ(x''-x)δ(t-t_0)]Ψ(x',t_0) dx'
= -ihδ(t-t_0)Ψ(x',t_0)

となって０とはなりません。これはどこか間違えてるのでしょうか？
また、“Ｋがt=t_0で不連続ということから時間に関するδ関数が入る”というのも良くわかりません。

粗末な質問で申し訳ありませんが、どなたか、ご教授お願いしますm(_ _)m

回答No.3

goodknight · ベストアンサー

あなたの式変形は正しいです。

p.149 の一番下をみてください。「 t>t0 であればシュレディンガー方程式を満たす」と
わざわざ書いています。実際あなたの式も t>t0 ならδ関数がゼロになって、式を満たします。

結論として、（あなたが確認したかった）任意のtでシュレディンガー方程式を満たすという命題には、
プロパゲーター(2.5.10)を使うべきで、グリーン関数の式 (2.5.12)は使いません。
同時に、 (2.5.10) は (2.5.12) を満たさないこと（x''=x',t=t0でのみ)も確認してください。

しかしながら、 t>t0 であればプロパゲーターもグリーン関数も同じなんです。
以下は No.1 の回答の意図と同じですが、桜井に沿って、繰り返します。

(2.5.12) 式は、 t>t0 では (2.5.10) の K が満たし、 t<t0 では (2.5.13) の K=0 が満たします。
これをまず確認してください。t=t0で、たしかに不連続に変わりますよね。
すると t=t0 で二つの関数をつなぐために、
(2.5.12) 式の任意の t についての解は、「ヘヴィサイド関数(t-t0) × (2.5.10)の式」 とするのが良い。
これが (2.5.12) を満たすことを確認すれば、左辺の時間に関するデルタ関数の出どころが分かるでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0

このように時間に関する因果を導入したものを先進（逆は遅延）グリーン関数と呼びます。
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/kato-yusuke-lab/nagai/note_0916_green.pdf

グリーン関数は、電磁気と多体量子力学で出てくるので、それを十分理解した後
（特に2.5.12 の左辺のソース項の重要性）もう一度桜井の、この部分に戻ってきて下さい。
先に読み進めるなら、
(2.5.12) はプロパゲーター(2.5.10) のグリーン関数的側面を説明する式、
と思って、今は、脇に置いておくのが良いでしょう。

お礼

皆様のおかげで、ここで桜井先生の言っていることはなんとなく理解できました。

とりあえず先に進みますが、近いうちにグリーン関数について学んだ後、また皆様の回答を読み直して理解に努めたいと思います。

回答No.2

morimot703

No１のものです。

僕以外に回答がないので、この掲示板では、妥当な質問ではないのかも知れません。
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi
に質問されてはどうでしょう。

尚、僕は、計算が超苦手で、
２行目から３行目への変形がわかりません。
[H''-ih (∂/∂t)] K(x'',t ; x',t_0) = -ihδ(x''-x)δ(t-t_0)　に、Ψ(x',t_0)を掛けて積分したもの
との差引で表したのでしょうか？

お礼

掲示板を利用しました！ありがとうございます！！

回答No.1

morimot703

僕は、初心者ですので間違ってるかもしれませんが、、、

森藤正人「量子波のダイナミクス」ｐ１５によると、
「ｔ＞t0と約束しておくと、グリーン関数とプロパゲータとファインマン核は同じもの」
とあります。
詳しく書くと、
Ｆをファインマン核とすると、
Ψ(x'',t) = ∫Ｆ(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx'
で、[H''-ih (∂/∂t)] Ｆ(x'',t)＝０　です。つまり、シュレーディンガｅｑを満たす
それで、
関数Ｇ(x'',t ; x',t_0）＝－iΘ(t-t0)Ｆ(x'',t ; x',t_0)　　　　Θはヘビサイド関数
としたものがグリーン関数です。
ヘビサイド関数があるので、何故δ関数が入る　のか、おわかりでしょう。

尚、ファインマン核については、拙ブログに記事をまとめています。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64135760.html　の前後の記事が参考になると思います。

補足

早速のご回答ありがとうございます。なるほどファインマン核なるものがあるのですね。ところで、わたしの式はどこの変形がおかしいのでしょうか？