グリーン関数とプロパゲータの関係（量子力学）
- グリーン関数とプロパゲータの関係について疑問があります。
- シュレディンガー方程式にグリーン関数を代入すると、不連続な項が現れますが、これはなぜですか？
- 質問内容が非常に言いにくくなってしまいましたが、お知恵をお借りしたく思います。
- ベストアンサー
グリーン関数とプロパゲータの関係（量子力学）
ＪＪ桜井のP151に [H''-ih (∂/∂t)] K(x'',t ; x',t_0) = -ihδ(x''-x)δ(t-t_0) （hは以下でもバー略） とありますが、 Ψ(x'',t) = ∫K(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx' としてシュレディンガー方程式に入れようとすると、 [H''-ih (∂/∂t)] Ψ(x'',t) = [H''-ih (∂/∂t)]∫K(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx' = ∫[-ihδ(x''-x)δ(t-t_0)]Ψ(x',t_0) dx' = -ihδ(t-t_0)Ψ(x',t_0) となって０とはなりません。これはどこか間違えてるのでしょうか？ また、“Ｋがt=t_0で不連続ということから時間に関するδ関数が入る”というのも良くわかりません。 粗末な質問で申し訳ありませんが、どなたか、ご教授お願いしますm(_ _)m
- samidare01
- お礼率46% (131/283)
- 物理学
- 回答数3
- ありがとう数4
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
あなたの式変形は正しいです。 p.149 の一番下をみてください。「 t>t0 であればシュレディンガー方程式を満たす」と わざわざ書いています。実際あなたの式も t>t0 ならδ関数がゼロになって、式を満たします。 結論として、（あなたが確認したかった）任意のtでシュレディンガー方程式を満たすという命題には、 プロパゲーター(2.5.10)を使うべきで、グリーン関数の式 (2.5.12)は使いません。 同時に、 (2.5.10) は (2.5.12) を満たさないこと（x''=x',t=t0でのみ)も確認してください。 しかしながら、 t>t0 であればプロパゲーターもグリーン関数も同じなんです。 以下は No.1 の回答の意図と同じですが、桜井に沿って、繰り返します。 (2.5.12) 式は、 t>t0 では (2.5.10) の K が満たし、 t<t0 では (2.5.13) の K=0 が満たします。 これをまず確認してください。t=t0で、たしかに不連続に変わりますよね。 すると t=t0 で二つの関数をつなぐために、 (2.5.12) 式の任意の t についての解は、「ヘヴィサイド関数(t-t0) × (2.5.10)の式」 とするのが良い。 これが (2.5.12) を満たすことを確認すれば、左辺の時間に関するデルタ関数の出どころが分かるでしょう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0 このように時間に関する因果を導入したものを先進（逆は遅延）グリーン関数と呼びます。 http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/kato-yusuke-lab/nagai/note_0916_green.pdf グリーン関数は、電磁気と多体量子力学で出てくるので、それを十分理解した後 （特に2.5.12 の左辺のソース項の重要性）もう一度桜井の、この部分に戻ってきて下さい。 先に読み進めるなら、 (2.5.12) はプロパゲーター(2.5.10) のグリーン関数的側面を説明する式、 と思って、今は、脇に置いておくのが良いでしょう。
その他の回答 (2)
- morimot703
- ベストアンサー率64% (27/42)
No１のものです。 僕以外に回答がないので、この掲示板では、妥当な質問ではないのかも知れません。 http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi に質問されてはどうでしょう。 尚、僕は、計算が超苦手で、 ２行目から３行目への変形がわかりません。 [H''-ih (∂/∂t)] K(x'',t ; x',t_0) = -ihδ(x''-x)δ(t-t_0) に、Ψ(x',t_0)を掛けて積分したもの との差引で表したのでしょうか？
お礼
掲示板を利用しました！ありがとうございます！！
- morimot703
- ベストアンサー率64% (27/42)
僕は、初心者ですので間違ってるかもしれませんが、、、 森藤正人「量子波のダイナミクス」ｐ１５によると、 「ｔ＞t0と約束しておくと、グリーン関数とプロパゲータとファインマン核は同じもの」 とあります。 詳しく書くと、 Ｆをファインマン核とすると、 Ψ(x'',t) = ∫Ｆ(x'',t ; x',t_0)Ψ(x',t_0) dx' で、[H''-ih (∂/∂t)] Ｆ(x'',t)＝０ です。つまり、シュレーディンガｅｑを満たす それで、 関数Ｇ(x'',t ; x',t_0）＝－iΘ(t-t0)Ｆ(x'',t ; x',t_0) Θはヘビサイド関数 としたものがグリーン関数です。 ヘビサイド関数があるので、何故δ関数が入る のか、おわかりでしょう。 尚、ファインマン核については、拙ブログに記事をまとめています。 http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64135760.html の前後の記事が参考になると思います。
補足
早速のご回答ありがとうございます。なるほどファインマン核なるものがあるのですね。ところで、わたしの式はどこの変形がおかしいのでしょうか？
関連するQ&A
- 量子力学の問題で困っています
量子力学の問題なのですが手元に資料が少なく、またネットで調べてもよくわからないので誰か教えて下さい。 １次元の調和振動子の規定状態の波動関数は一座表表示で次のように書ける Ψ(x,t) = Aexp(-2mωx^2/2h)exp(-iωt/2) これが調和振動子のシュレディンガー方程式の解であることを確かめなさい という問題なのですが調和振動子のシュレディンガー方程式というのは (-h^2/2m)d^2Ψ/dx^2 + mω^2x^2Ψ/2 = EΨ でいいのでしょうか？ この方程式では時間の項を考慮していないように見えるのですが また、運動量の固有関数が f(x) = (1/√2πh)exp(ipx/h) であることを用いて、この波動関数Ψ(x,t)の運動量表示Φ(p,t)を求めなさい という問題も計算がうまくいかなくて困っています。教えていただけませんか？ 式中のhは全てエイチバーです。よろしくお願いします
- 締切済み
- 物理学
- ∇・j = 0 （量子力学）
独学で量子力学を勉強中にわからないところが出てきました． 以下 h は h bar を表すものとします． 波動関数を ψ(r,t) ，フラックスを j(r,t) = (h/2mi)[ψ*∇ψ - (∇ψ*)ψ] としたとき，定常状態では ∇・j = 0 が成り立つという記述を見て，以下のように示そうとしました． (h/i)∇・j = -(h^2/2m)[ψ*(△ψ) - (△ψ*)ψ] シュレディンガー方程式を用いると = ψ*{ ih(∂ψ/∂t) - Vψ } - { -ih(∂ψ*/∂t) - V*ψ* }ψ = ih( ψ*(∂ψ/∂t) + (∂ψ*/∂t)ψ ) - (V-V*)|ψ|^2 ここで第1項目は，定常状態のシュレディンガー方程式より ψ(r,t) = φ(r)f(t) のように変数分離して f(t) の具体的な形を求めることで 0 になることがわかりました． 問題は第2項目なのですが，これはポテンシャルVが 実数でなければ0にならないと思います． 「定常状態 ⇔ ポテンシャルは実数」 ということは言えるのでしょうか？ また，上の式変形も自信がないので すでにおかしなことをやっているのであればご指摘ください．
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学の問題
量子力学をやっていてわからないことがあったので質問します。 t=0で <(⊿x)^2><(⊿p)^2>=h^2/4 <x>=<p>=0 を満たす一次元自由粒子の波束について、<(⊿x)^2>_{t=0} を用いて<(⊿x)^2>_t を表せ。 という問題の解答として、 ハイゼンベルグの運動方程式より, dx(t)/dt = (1/ih)[x,H] = (1/ih)[x,p^{2}/2m] = p/m therefore x(t) = (p/m)t+x dp(t)/dt = (1/ih)[p,H] = 0 therefore p(t) = p となるから <(⊿x)^2>_t = <x(t)^2>-<x(t)>^2 = <((p/m)t+x)^2>-0 = (t^2/m^2)<p^2>+<x^2>+(t/m)<xp+px> …まではわかるのですが、ここから第３項が落ちる、というのがなぜかわかりません。どなたかわかる方、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学
2つ質問があります。 (1)粒子の0≦x≦Lの範囲に制限された一次元の運動は波動関数 ψ(x)=Csin(πx/L) で記述される。 ここでCは規格化定数である。 粒子が次の範囲にある確率を求めよ。 1)L/2≦x≦L 2)L/4≦x≦3L/4 これの答えは両方1/2で合ってますか？解答がないのでわからないのですが。。 間違っているとしたらどのように解けばいいのでしょうか？ (2)量子化とはどういうことを言うのでしょうか？ たとえば、 運動量pの量子化→pハット=-ihバー∇ ハミルトニアンHの量子化→Hハット=pハット^2/2m=(-ihバー∇)^2/2m=-hバー∇^2/2m のようにすることが量子化ということですか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学の質問です。
【１】 MKS単位系での以下の単位を教えてください。 1. 三次元デルタ関数系ポテンシャル -Vδ(x) δ(y) δ(z) 2. 基底状態における交換子の期待値 <0|[a†, a]|0> 【２】 一次元調和振動子でハミルトニアンH=p^2/2m + mω＾2x^2/2 で与えられてる時、固有状態を|n>として、期待値 <n|x|n>を求める方法はシュレディンガー方程式を解いて、エルミートを含む一般解を導出して、∫dxΦxΦ ってやる他に簡単なやり方はないのでしょうか？ <ｘ>ならば０であると計算しなくても分かるのですが、より一般的に例えば＜ｘ＾4＞とかを求めるとなるとどうすればいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 量子力学の問題(期待値を求める)
量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。 問題 ポテンシャルV(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=ｔ0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。 Ψ(x,to)=Ｃexp(-ax^2+ibx) (a,b,Cは正の実数) このとき、 (1)t=toにおける位置の期待値 (2)t=toにおける運動量の期待値 (3)時刻tにおける位置の期待値 (4)波動関数Ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式 を求めよ。 解答 (1)＜Ψ(x,to)*| x |Ψ(x,to)＞ =∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)dx =Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx を計算して答えが0になりました。(この積分を直接計算できませんでしたが、被積分関数のグラフを考えると原点対象だったので、-∞から∞に積分して０になるだろうと考えました。) (2)＜Ψ(x,to)*| －ihd/dx |Ψ(x,to)＞ =… =hbＣ^2∫[-∞,∞] exp(-2ax^2)dx =hbＣ^2×√π/√(2a) (最後の積分でガウス積分の公式を使いました。) (3)ハミルトニアンが時間に依存しないので、時刻tにおいて波動関数ψは ψ(x,t)=Ψ(x,to)exp(-iEt/h)=Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h) とおける。従って求める期待値は、 ＜ψ(x,t)*| x |ψ(x,t)＞ ＝∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・exp(iEt/h)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)dx ＝Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx ＝０ (結局(1)と同じ) (4)(-h^2/2m(d^2/dx^2)-gx)ψ(x,t)＝ihd/dtψ(x,t)
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学の期待値の問題です
波動関数φ(x)=C*exp(-x^2/2a^2)から不確定性関係を導く問題です。 運動量のp^2の期待値<p^2>の計算がわかりません <p^2>=∫φ(x)'*p^2*φ(x) *φ'(x)は共役複素数 =|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx =|c|^2*(-ih)*(4/a^4) ∫x^2* exp(-x^2/a^2) dx ここで |C|^2=1/a√π (規格化より求めた) ∫x^2* exp(-x^ｌ2/a^2) dx=(a^3*√π)/2 を代入して <p^2>= -2ih 以上のようになったのですが、間違っている気がしてなりません。 間違いがあったらご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
皆様のおかげで、ここで桜井先生の言っていることはなんとなく理解できました。 とりあえず先に進みますが、近いうちにグリーン関数について学んだ後、また皆様の回答を読み直して理解に努めたいと思います。