ある証明の中での式の展開の仕方について

質問

問題文は
『真数の増加が小なるとき、それに応ずる対数の増加は真数の増加に比例するとしてよい』で、したのような証明がありました。
ε=log[10](a+h)-log[10]a-h{log[10](a+1)-log[10]a}
=log[10](1+h/a)-h*log[10](1+1/a)
=log[10]e*{log[e](1+h/a)-h*log[e](1+1/a)}
<log[10]e*{h/a-h^2/(2a^2)-h/a+h/(2a^2)}
=(log[10]e)*{h(1-h)/2a^2}
=0.43・・・/(8a^2)
<1/(16a^2)
という展開において、3行目から4行目にかけてどのように考えれば、上記のような不等式に展開できるのかわかりません。
アドバイスをお願いできればと思います。

宜しくお願い致します。

回答No.3

info22_

>3行目から4行目にかけてどのように考えれば、上記のような不等式に展開できるのかわかりません。

テーラー展開の公式
log[e](1+x)=x-(1/2)x^2+R3 (0<R3)
で
x=a/hとか x=1/aとおいて使えばやればいいかと思います。

剰余項Rnについては参考URL参照。
http://okwave.jp/qa/q612968.html

お礼

info22_様ご丁寧なアドバイスありがとうございます。しかしながら、高校数学程度の私にはすぐには理解できません。これからじっくり考えてみます。今後とも宜しくお願い致します。

回答No.2

noname#128765

不等式を示すためにうまく関数というものを定義する。
hを十分に0に小さい値、aを任意に正の実数として定める。
ここで
log(1＋h/a)-hlog(1＋1/a)<h(1-h)/(2a^2)　は
f(x)=log{(1＋x)^(1/x)}と定義すると
f(1/a)-f(h/a)<(1-h)/2a になる。
そしてここからうまく、f(x)の導関数を使った不等式が以下のように作れて
f(1/a)-f(h/a)<(1-h)/2a
⇔{f(1/a)-f(h/a)}/{(1-h)/a}<1/2
⇔f'(Θ)<1/2　・・・・・(#)
が成り立つのを最終的に言えばOK。ただしΘは平均値の定理にもとづいた1/a≦Θ≦h/aをみたす
ある値である。(なおf(x)がx>0で連続であることと微分が定義できることを認めて
平均値の定理が利用できる。)
しかし、aは任意の正の実数、hは0に十分小さい値よりΘを0<Θで任意に固定しても
(#)が成り立つことを簡単に示すことができる。
f(x)=log{(1＋x)^(1/x)}=(log(1＋x))/xから
f'(x)＝{x-log(1＋x)}/x^2(1＋x)でf'(x)はxについて単調減少関数であるから
f'(x)<lim(x→0)f'(x)　
(単調減少関数であるのはもう一回微分してxについて負をとりうることで分かる)
ロピタルの定理をうまく適応させて
lim(x→0)f'(x)=1/2 であるから　Θを0<Θで任意にとっても(#)は成立する。
これより示すべき不等式が示せた。

お礼

T3gwBHTAHN様ご丁寧なアドバイスありがとうございます。しかしながら、高校数学程度の私にはすぐには理解できません。これからじっくり考えてみます。今後とも宜しくお願い致します。

回答No.1

alice_44

log[10]e などを払って、式を整理すると、3 行目から 4 行目にかけては
ln(1 + h/a) - h・ln(1 + 1/a) < h/a - (1/2)(h/a)^2 - h・{ 1/a - (1/2)(1/a)^2 }　…(＊)
という評価を行っています。ただし、ln x は log[e] x の意図です。

log のテイラー展開 log x = x - (1/2)x + (1/3)x^2 - o[x^2] を考えると、
ln(1 + h/a) = h/a - (1/2)(h/a)^2 + (1/3)(h/a)^2 - o[(h/a)^2],
ln(1 + 1/a) = 1/a - (1/2)(1/a)^2 + (1/3)(1/a)^2 - o[(1/a)^2] より、

(＊)の左辺 - 右辺 = (1/3)(h/a)^2 - o[(h/a)^2] - h・{ (1/3)(1/a)^2 - o[(1/a)^2] }
= (1/3)h(h - 1)/(a^2) - o[(h/a)^2] + o[h(1/a)^2] となります。

h/a と 1/a が小さいとき、o[(h/a)^2] や o[h(1/a)^2] は小さいので、
この差の符号は、(1/3)h(h - 1)/(a^2) の符号で決まります。
それが < 0 と評価されたということは、0 < h < 1 という前提があったのでしょう。
質問文中には、書かれていないけれど…

お礼

alice_44様ご丁寧なアドバイスありがとうございます。しかしながら、高校数学程度の私にはすぐには理解できません。これからじっくり考えてみます。今後とも宜しくお願い致します。