数３

質問

eを自然対数の底とする、e≦p＜qの時、不等式log(logq)-log(logp)＜q-p/eが成り立つことを証明せよ。
詳しく解説お願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞pとqの式といっても、eがあるのですがどうすればいいですか?
単に両辺に eをかけるだけだと思いますが・・・

一点確認が漏れていたのですが、右辺は (q- p)/eであると思っていいですか？
分母・分子をはっきりさせておかないと、問題自体が変わってしまうので。

＞回答は平均値の定理を利用するとか書いてありますが、利用してなにになるのでしょうか?
そちらの方法もありますね。
平均値の定理を使うというのはなかなか気づきにくいとは思います。
で、両辺を q- pで割った不等式を証明することを考えます。

関数：f(x)＝ log(log(x))に対して、平均値の定理を利用すると
{ f(q)- f(p) }/(q- p)＝ f '(r) （ただし、p＜ r＜ q）なる rが存在することが言えます。

この rについて、常に f '(r)＜ 1/eであることが示せれば、
もとの不等式を証明することができます。
e＜ rとなることを用いることになります。

お礼

なるほど、丁寧にありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

log(log ◯)の形が気持ち悪い感じもしますが、
不等式を pだけの式と qだけの式の大小関係に変形します。
すると、f(p)＞ f(q)という形が得られるので、関数：f(x)が単調減少になることを示します。
xの範囲に注意して下さい。

お礼

遅れてすみません、回答ありがとうございます。
pとqの式といっても、eがあるのですがどうすればいいですか?
回答は平均値の定理を利用するとか書いてありますが、利用してなにになるのでしょうか?