Log の計算？

質問

いつも大変お世話になります
相関の推定の最後の式で解けない式があります。
ご回答願います。

対数表示の式
loge^1.466<log((1+p)/(1-p))<loge^2.25
対数をとると
e^1.466<(1+p)/(1-p)<e^2.25
解
0.6247<p<0.8092

どうして
e^1.466<(1+p)/(1-p)<e^2.25
が
0.6247<p<0.8092
になるのでしょう？

微分とか分らない初心者です。（自然対数を使って出すことにしています）
分りやすく教えて頂きたく宜しくお願いいたします。

回答No.2

imasokari · ベストアンサー

log((1+p)/(1-p))
より
(1+p)/(1-p)>0
だから、
1+p>0かつ1-p>0
または
1+p<0かつ1-p<0
これより
-1<p<1(後者は解なし)…(ア)

e^1.466<(1+p)/(1-p)<2.25
は、このままでは都合が悪いので、全ての辺に(1-p)を掛ける。このとき(ア)より
(1ーP)>0
であるから、不等号の向きは変わらず
e^1.466(1-p)<1+p<e^2.25(1-p)

e^1.466(1-p)<1+p
より
p>(e^1.466-1)/(e^1.466+1)
1+p<e^2.25(1-p)
より
p<(e^2.25-1)/(e^2.25+1)すなわち
(e^1.466-1)/(e^1.466+1)<p<(e^2.25-1)/(e^2.25+1)

(e^1.466-1)/(e^1.466+1)=0.6247
(e^2.25-1)/(e^2.25+1)=0.8092
ゆえに
0.6245<p<0.8092…(イ)

(ア)(イ)より
0.6245<p<0.8092

お礼

ご返信が遅くなり大変申し訳ありませんでした。
上記内容で確認しました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#108210

３つの項をまとめて変形しますので，次のことを
確認して下さい．

a>0,　b>0　のとき
a<b　ならば　1/a>1/b　‥‥(1)
a<b　ならば　-a>-b　　‥‥(2)
a<b　ならば　1+a<1+b　‥‥(3)

e^1.466=A
e^2.25=B　としておきます。

(1+p)/(1-P)={-(1-p)+2}/(1-p)=-1+2/(1-p)　なので

A<(1+p)/(1-P)<B　を書きかえて

A<-1+2/(1-p)<B　この各辺に1を足して

A+1<2/(1-p)<B+1　各辺の逆数をつくると

1/(A+1)>(1-p)/2>1/(B+1)　各辺に2を掛けて

2/(A+1)>(1-p)>2/(B+1)　各辺に(-1)を掛けて

-2/(A+1)<-(1-p)<-2/(B+1)　整理して

1-2/(A+1)p<1-2/(B+1)

これを計算して，0.624897288533966<p<0.809301070201781

EXCELで　1-2/(EXP(1.466)+1)，1-2/(EXP(2.25)+1)　にて計算しました。

お礼

ご返信が遅くなり大変申し訳ありませんでした。
上記内容で確認しました。
ありがとうございました。