数列

質問

数列について教えてください。
各項が正の数である数列【an】がa1=1,{〔(an＋1)＾2〕/an}=1/eを満たす時lim（ｎ→∞）an＝の求めかたを教えてください。
eは自然数の底

(an+1)＾2＝(1/e)an

両辺の対数をとり変形すると
log(an＋1)＾2 －logan= -loge
2log(an＋1)-logan=-loge
2log(an＋1)=logan-loge
log(an＋1)={logan-loge}/2
ココまで分かりその後が分かりません。

回答No.5

Mr_Holland

＃２です。
　私への補足ですよね。

＞b_n＝log(a_n)　とおくと、
＞＞log(an＋1)={logan-loge}/2
＞の式を次のように変形できます。
＞　　b_(n+1)＝(1/2)(b_n -1), b1=log(a_1)=0　
＞　★　b_(n+1) +1＝(1/2)(b_n +1)
＞　★b_n＝(1/2)^(n-1)・(b_1 +1) -1
＞　　　　＝(1/2)^(n-1) -1
＞が分かりません

　恐らく、特性方程式を使った式変形と、その後の等比数列の一般項の求め方が分からないのだろうと思います。
　この当たりの事を説明すると長くなりますので、カラフルに要領よく解説したサイトがありましたので、これを参考になさってください。

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku031.htm
（もし、これで不十分な場合は、「漸化式　特性方程式　一般項」で検索してみてください。）

回答No.4

koko_u_

>一般項の形を具体的に求めずに、極限値を求める。
であれば、a_n > 1/e が求まった時点で a_n^2 - a_{n+1}^2 = a_n(a_n-1/e) > 0 だから {a_n} は単調減少。

あとは lim_{n->∞}{(a_{n+1})^2/a_n} するだけ

補足

b_n＝log(a_n)　とおくと、
＞log(an＋1)={logan-loge}/2
の式を次のように変形できます。
　　b_(n+1)＝(1/2)(b_n -1), b1=log(a_1)=0　

　★　b_(n+1) +1＝(1/2)(b_n +1)

　★b_n＝(1/2)^(n-1)・(b_1 +1) -1
　　　　＝(1/2)^(n-1) -1
が分かりません

回答No.3

zk43

極限値αが存在するとすれば、a(n+1)^2/a(n)=1/eにおいてn→∞とする
と、α^2/α=1/eより、α=1/e
これを念頭において考える。
一般項の形を具体的に求めずに、極限値を求める。

a(2)^2=a(1)/e=1/eより、a(2)=√(1/e)>1/e
a(n)>1/eを仮定すると、
a(n+1)^2-(1/e)^2=a(n)/e-(1/e)^2=(1/e)(a(n)-1/e)>0
より、a(n+1)>1/e
よって、帰納法により任意のnについてa(n)>1/eである。

a(n+1)^2-(1/e)^2=(1/e)(a(n)-1/e)
において左辺は、
a(n+1)^2-(1/e)^2=(a(n+1)+1/e)(a(n+1)-1/e)
>(1/e+1/e)(a(n+1)-1/e)=(2/e)(a(n+1)-1/e)>0
であるから、
0<(2/e)(a(n+1)-1/e)<(1/e)(a(n)-1/e)
これより、
0<a(n+1)-1/e<(1/2)(a(n)-1/e)<(1/2)^2(a(n-1)-1/e)<…
<(1/2)^n(a(1)-1/e)=(1/2)^n(1-1/e)
一番右の辺でn→∞とすれば極限値は0なので、はさみうちから、
a(n+1)-1/e→0、すなわち、a(n)→1/eがわかる。

回答No.2

Mr_Holland

b_n＝log(a_n)　とおくと、
＞log(an＋1)={logan-loge}/2
の式を次のように変形できます。
　　b_(n+1)＝(1/2)(b_n -1), b1=log(a_1)=0　　（＃１さんのlog(e)=1を使ってください。）

　こうなると、あとは普通の漸化式ですから、
　　b_(n+1) +1＝(1/2)(b_n +1)
と等比数列の漸化式に変形して、
　　b_n＝(1/2)^(n-1)・(b_1 +1) -1
　　　　＝(1/2)^(n-1) -1
を得ます。
　これをa_nに戻すと、
　　a_n＝exp(b_n)
　　　　＝exp{(1/2)^(n-1) -1}
となります。
　あとは、これのｎ→∞の極限をとれば、よいだけです。
　　[n→∞]lim a_n＝1/e
と求められることと思います。

　ところで、極限値を求めるのに、上記では、一般項を求めてきましたが、漸化式からいきなり求める方法もあります。（厳密には正確ではないかもしれませんが。）
　数列{a_n}が極限である値αに収束するとすれば、極限では、
　　a_(n+1)＝a_n＝α
となります。この式を問題の漸化式に代入すると、
　　α^2/α＝1/e
ですから、
　　α＝1/e
を得ます。

　この手法は厳密に正しいのかは分かりませんので、答えだけが必要な場合や一般項から極限を求めたときの検算に使うようにしたらよいかと思います。

回答No.1

koko_u_

an+1 は a_{n+1} (添字が n+1)のことだとして、
log(a_n) を b_n とでも置いてやれば、いつか何処かで見た問題ですね。

あと、log(e) = 1 ね。

補足

log(an＋1)={logan-loge}/2
log(an＋1)=（１/2){logan-loge}
=（1/2){logan-1}
でしょうか？