正方形で、内接する円と、一頂点からの扇形で、混ざり

質問

正方形で、内接する円と、一頂点からの扇形で、混ざり扇形の外側で内接円の内側の面積はどうすれば求められるのでしょうか教えて下さい

回答No.1

muturajcp

内接円の中心(0,0),半径1
扇形の中心(0,-√2),半径2
S=({(x,y)|x^2+y^2<1 & x^2+(y+√2)^2>4}の面積)
とすると
x^2+y^2=1 と x^2+(y+√2)^2=4　の交点は
(±(√14)/4,1/(2√2))
だから
S=2∫_{0～(√14)/4}(√(1-x^2)-√(4-x^2)+√2)dx
=2[{(√7)/2}+(√7)/16-(5√7)/16+{arcsin((√14)/4)}/2-2{arcsin((√14)/8)}]
=(√7)/2+arcsin((√14)/4)-4[arcsin((√14)/8)]
=(√7)/2+arcsin((√14)/256)