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三角形に内接する正方形の作図の仕方

三角形に内接する正方形の作図の仕方 教えて!gooの中で類似の質問と回答がありました。 http://okwave.jp/qa/q1049706.html この回答の中で，tarame様の回答について，線分PQが底辺BCに平行であることが証明されていません。 平行でなければ，内接するのは正方形でなく，単なる四角形になると思うのですが。 これが平行となる証明を教えて頂きたくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.4

△ＸＢＺと△ＡＢＺについて ＢＳ：ＳＺ　を求めると　ＸＢ：ＡＺ　に等しいことが出てきます。 　　ＸＢ：ＰＳ＝ＢＺ：ＳＺ・・・→ＳＺ＝ＰＳ・ＢＺ／ＸＢ 　　ＡＺ：ＰＳ＝ＢＺ：ＢＳ・・・→ＢＳ＝ＰＳ・ＳＺ／ＡＺ 　　ＢＳ／ＳＺ＝ＸＢ／ＡＺ 同様に、△ＹＣＺと△ＡＺＣについて ＣＲ：ＲＺ　を求めると　ＹＣ：ＡＺ　に等しいことが出てきます。 ＸＢ＝ＹＣ＝ＢＣでしたから（＊）の式は出てきます。

USS1701
質問者

お礼

ありがとうございます！ そうでした！△ＸＢＺと△ＡＢＺに注目すればいいのですね。 図形は，やはり，注目すべき領域が見えないと，解けないものですね，，， 私の拙い質問に対して丁寧なご回答を頂き，本当に，感謝します。

その他の回答 (3)

  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.3

確かに証明はされていません。 ｔａｒａｍｅ様は作図の方法を示しているだけです。 正方形になっていることは自明ではありません。 三角形の頂点Ａから下ろした垂線の足Ｚから線を引いているということがポイントです。他の点から線を引いたのでは正方形はできません。だから証明ではＡＺを使います。 ＰＳとＱＳが平行であるということは分かっていますから ＰＳ＝ＱＲ＝ＰＱを示せば正方形になります。 これは ＢＳ：ＳＺ＝ＸＰ：ＰＺ＝ＹＱ：ＱＺ＝ＣＲ：ＲＺ が成り立つことを示すと出てきます。 １番目の等式、３番目の等式はＸＢ，ＰＳ，ＱＲ，ＹＣが平行であるということからすぐに出てきます。 ２番目の等式が成り立つと正方形になります。 相似形の関係を使うと ＢＳ：ＳＺ＝ＣＲ：ＲＺ＝ＢＣ：ＡＺ　　　　（＊） （ＢＣ＝大きい正方形の一辺の長さ） が出てきます。 これでＰＱＲＳが正方形である事を示すことができます。 （＊）の証明はやってみてください。

USS1701
質問者

補足

丁寧な回答，ありがとうございます。 ただ，一番肝心な（＊）がわかりません。 再度，これに答えて頂けると大変助かります。

  • OKXavier
  • ベストアンサー率53% (135/254)
回答No.2

四辺形PQRSで、１組の辺（PS,QR）が平行で、長さが等し いので、四辺形PQRSは平行四辺形です。したがって、PQとSRは平行です。 因みに、RS=QRは相似を利用し簡単に示せます。

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

分からないのは線分PQと底辺BCが平行かどうかだけでしょうか？ 四角形PQRSで、 PS=QR=SR　かつ　PS⊥SR、QR⊥SR であることが分かっていればPQとSRが平行であることはほとんど自明でもいいのではないですか。 あえて証明するなら、背理法でしょうか。

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