ガンマ関数 Γ(1/2) の解法について教えて下さい。

質問

Γ(1/2)＝√π の途中の計算過程を教えて頂きたいのですが、よろしくお願い致します。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＃２の補足です。
＞公式の(3)で何故πが出てくるのかが分からないのですが
∫exp(-αx^2)dx=(1/2)sqrt(π/α) (α>0),積分範囲[0～∞]
この積分はガウス積分と呼ばれています。このサイトで、「ガウス積分」で検索すると相当な数がヒットしますよ。
具体的な計算方法は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=569360
等を見てください。
<ご参考>
ガウス積分の公式
(1)積分範囲[0～∞]のグループ
　∫exp(-αx^2)dx=(1/2)sqrt(π/α) (α>0)
　∫x^2exp(-αx^2)dx=(1/4)sqrt(π/α^3) (α>0)
　∫x^3exp(-αx^2)dx=1/(2a^2)
(2)積分範囲[-∞～+∞]のグループ
　∫exp(-αx^2)dx=sqrt(π/α) (α>0)
　∫x^2exp(-αx^2)dx=(1/2)sqrt(π/α^3) (α>0)

お礼

お蔭様で、ようやく理解する事が出来ました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

zetafunctionさんの回答の補足となります。
ガンマ関数の定義を改めて書くと
Γ(t)＝∫x^(t-1)exp(-x)dx（t>0),積分範囲[0～∞] (1)
従って、積分範囲は上と同じとして
Γ(1/2)＝∫x^(-1/2)exp(-x)dx (2)
となります。要はこの積分の計算過程の補足ということになりますが、計算の前に必要な公式をピックアップしておきますと
<公式>
∫exp(-αx^2)dx=(1/2)sqrt(π/α) (α>0),積分範囲[0～∞] (3)
＜計算＞
(1)変数の置換を行なう⇒ x＝s^2
(2)式(2)を変数sで書きかえる。この時、√x＝s，dx＝2sds
となることと公式(3)を使って
Γ(1/2)＝∫(1/s)exp(-s^2)2sds＝2∫exp(-s^2)ds＝√π
となります。

お礼

解答の補足どうもありがとうございました。
公式の(3)で何故πが出てくるのかが分からないのですが、
追加でご教授お願い出来ないでしょうか。
その他は理解出来ました。
よろしくお願い致します。

回答No.1

zetafunction

Γ(x) = ∫[0 to ∞]{e^(-t)t^(x-1)} dt (x＞0)

t=u^2 と置き換えると,

Γ(x) = 2∫[0 to ∞]{e^(-u^2)u^(2x-1)} du (x＞0)

よって,

Γ(1/2) = 2∫[0 to ∞]{e^(-u^2)} du = √π

お礼

早速のご解答どうもありがとうございます。
何分にも数学力が低いもので、途中の計算過程をもう少し補足して頂けると有難いのですが、よろしくお願い致します。