三次方程式の解法について

質問

三次方程式を解くプログラムを作成したいです。
三次方程式a*x3+b*x2+c*x+d=0を解くのに，
カルダノの公式がありますが，解が全て実数解であるとしても，
計算過程で虚数が存在することを考えなければなりません。

しかし，a=1で解が実数解の場合，
計算過程で虚数を考えなくても，簡単に実数解を求める
ことができる（エクセルで簡単に）と聞きました。
ニュートン法等の収束計算を用いる方法ではないようです。

このような方法をご存知でしたら，詳しく教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#108554 · ベストアンサー

ビエタの解
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E9.82.84.E5.85.83.E4.B8.8D.E8.83.BD.E3.81.AE.E5.A0.B4.E5.90.88
なら、計算過程で虚数を使わずに実数解が出てきます。

お礼

この方法なら簡単に実数解だけを求められるみたいですね。
有難うございます。

回答No.3

stomachman

三次に限らず多項式f(x)の零点を計算する話にします。

その目的でニュートン法を使う場合、式を大幅に簡単にできるので、見かけはニュートン法っぽくなくなります。

また「二次因数分解」を使うこともできます。すなわち多項式f(x)が実係数の二次式(x^2-ux-v)で割り切れるようにu,vを決定する。この際にニュートン法を利用しますが。

収束が遅くてあまり実用的とは言えないけれども、「商差法(Quotient-difference method)」てのがあり、これはニュ－トン法を全然使いません。

回答No.2

info22

>計算過程で虚数を考えなくても，簡単に実数解を求める
ことができる（エクセルで簡単に）と聞きました。

参考URLにEXCELによる具体的な実数解の求め方が掲載されています。
3次方程式のソルバー（解くためのソフト）は標準でインストールされていないので、OFFICEのCD-ROM中にあるソルバーをインストールしないといけないようです。参考URLに詳細が載っていますのでご覧下さい。

参考URL：

http://members.jcom.home.ne.jp/dbp/Excel/excel_ce_nyumon.htm

回答No.1

Tacosan

a = 1 のときに簡単に解けるんだったら, a が 1 でないときでも簡単に解けるはず (全体を a で割るだけ, だから) です.
でもって, カルダノによる三次方程式の解法では, 「3個の異なる実数解」になるときには必ず「虚数の 3乗根」が出てきます. 「不尽根」というやつです. 「計算過程で虚数が存在することを考えなければなりません」よりもっと強い結果です.