Arctanの導関数を求めたいです

質問

y=Arctan√5x^3

この計算過程と回答結果を教えて下さいませ。

宜しくお願い致します。

回答No.2

info22_

>y=Arctan√5x^3
回答者に正しく式を認識してもらえないと正しい回答も貰えない可能性があります。

#1さんも2通りの式に受取られる虞を指摘されています。
A#1とかぶらないように 後者の
　y=Arctan((√5)x^3) …(1)
として回答してみます。
一応、Arctanの定義域、値域から
　-π/2<y<π/2,-∞<x<∞
このようなx,yについて(1)から
　tany=(√5)x^3 …(2)
xで微分して
　y'*(sec(y))^2=(3√5)x^2
　y'=(3√5)(x^2)(cos(y))^2=(3√5)(x^2)/{1+(tan(y))^2}
(2)を代入
∴y'=(3√5)(x^2)/(1+5x^6)

回答No.1

sanori

こんにちは。

√（５ｘ^3）　ですかね。
√５・ｘ^3　ですかね。

前者でやりますね。

ｙ　＝　arctan√（５ｘ^3）　＝　arctan（５ｘ）^(3/2)
tanｙ　＝　（５ｘ）^(3/2)　＝　５^(3/2)・ｘ^(3/2)

ここで、ｚ　＝　tanｙ　と置くと、
ｄｚ／ｄｙ　＝　（cosｙ・cosｙ　－　sinｙ・（－sinｙ））／cos^2ｙ　＝　１／cos^2ｙ
ｄｚ／ｄｘ　＝　５^(3/2)・３／２・ｘ^(1/2)

よって、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
　＝　cos^2ｙ・５^(3/2)・３／２・ｘ^(1/2)
　＝　３／２・５^(3/2)・（√ｘ）cos^2ｙ
　＝　３／２・√５^3・（√ｘ）cos^2（arctan√（５ｘ^3））