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三角関数の合成公式 がおかしい?

-3sin(x) + 3cos(x) → (1) を合成公式であらわすと、 -3sin(x) + 3cos(x) = √((-3)^2 + 3^2) * sin (x+y) = 3√(2) * sin(x+y) ただし y = arctan(b/a), a=-3, b=3 つまり = 3√(2) * sin(x+arctan(3/-3)) = 3√(2) * sin(x-π/4) → (2) となるはずです。しかし、例えばxにπを入れて(1)と(2)を計算してみると、 (1)-3sin(π) + 3cos(π) = -3 (2)3√(2) * sin(π-π/4) = 3 となり、(1)と(2)の答えが同じになりません。どうしてでしょうか?

noname#200754

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  • 回答No.4

ANo.2 です。  間違えました。訂正します。 誤 値域を(π/2<y<π)として、 正 値域を(π/2<y< 3π/2 )として、

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  • 回答No.3
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

tan(y)=sin(y)/cos(y) を考える時 sin(y)>0, cos(y)<0だから yの角度が第2象限の角度(π/2<y<π)であることを注意すれば y=-π/4(第4象限の角)では無く y=3π/4(第2象限の角)として y=arctan(3/(-3))+π=-π/4 +π= 3π/4と求めないといけませんね。 つまり >= 3√(2) * sin(x-π/4) → (2) = 3√(2) * sin(x+3π/4) → (2) が正解の答になります。 arctan(x/y)は x>0,y<0の場合と x<0,y>0の場合で 角度が変わることに注意して下さい。

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  • 回答No.2

正しく計算すると、 -3sin(x) + 3cos(x) =-3√(2) * sin(x-(π/4)) または、 =3√(2) * sin(x+(3π/4)) となるはずです。 -3sin(x) + 3cos(x) =3√2*{( -1/√2)sinx+( 1/√2)cosx} A siny=( 1/√2) B cosy=(-1/√2) から、y=(3π/4) とでるはずなのに、 ABからtany=-1 としたので、 情報が欠落して、y=(3π/4)、(-π/4)となり、 さらに、逆関数を使用して、 arctan(-1)=(-π/4)となっています。 arctanは多価関数です。 普通は値域を(-π/2<y<π/2)と限定して、 あまり面倒は起こらないのですが、 y=(3π/4) に対応するためには、 値域を(π/2<y<π)として、処理する事になります。 話を戻すと、 ABで処理して、 yは第二象限と判断するのが良いと思います。

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  • 回答No.1
  • neta
  • ベストアンサー率50% (13/26)

sin(y)=1/√2、cos(y)=-1/√2 だから、 -3sin(x) + 3cos(x)=3√2*sin(x+(3π/4)) でしょうね。

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