三角関数の合成

質問

a sinθ+ b cosθ = √a^2 + b^2 sin (θ+ α)
( √の中には a^2 + b^2 まで入ります )

の a はグラフのx座標、bはy座標を表すのはなぜですか？
教えてください。

回答No.2

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

a*sinθ+b*cosθがどのようにして質問にあるように合成されるのかの流れ、説明の1つを紹介しましょう。

a*sinθ+b*cosθ
= {(a^2+b^2)^0.5}*[{a/{(a^2+b^2)^0.5}}*sinθ+{b/{(a^2+b^2)^0.5}}*cosθ]　…(#)

となりますね。規格化したものと考えればよいでしょう。

すると、{a/{(a^2+b^2)^0.5}}の部分がありますが、これは少し想像力を膨らませていくと、辺の長さがそれぞれa, b, (a^2+b^2)^0.5の直角三角形のcosの部分に相当するではないか、とひらめきます（いや、ひらめいてください）。このひらめきに沿うようにxy平面上に上の直角三角形OABをあててみると原点O、点A(a,0)、点B(a,b)となり、ついでに∠AOB=αとすると、見事

cosα = {a/{(a^2+b^2)^0.5}}

と表せるわけです。

あとはsinαも同様に

sinα = {b/{(a^2+b^2)^0.5}}

となり、

(#) = {(a^2+b^2)^0.5}*[cosα*sinθ+sinα*cosθ]
= {(a^2+b^2)^0.5}*sin(θ+α)

となります。結局a*sinθ+b*cosθのaの部分をx座標、bの部分をy座標と見るのは、1つには上にあるような説明のためにあるのでしょう。

がんばってください＾＾

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

kkkk2222

＞＞a はグラフのx座標、bはy座標を表す・・・

多分,三角関数の合成の別証明、
点（ａ、ｂ）と置いて，
ｒ=√（(a^2)+(b^2)）
（ａ、ｂ）＝（ｒcosα，ｒsinα）
ｒsin(θ+α)を加法定理で展開して、
ｒsin(θ+α)＝ｒ(sinθcosα+cosθsinα)
　　　　　　　＝sinθ（ｒcosα）+cosθ（ｒsinα)
　　　　　　　＝ａsinθ＋ｂcosθ
√（(a^2)+(b^2)）sin(θ+α)＝ａsinθ＋ｂcosθ
の事でしょう。
このときの（ａ、ｂ）は貴殿の言うとおりとなります。

ＴＥＸＴ記載の証明より確かに美しいとは思いますが、一方＜天下り＞的であって難解とも言えます。

どちらを好むかは貴殿の選択次第と思われます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

noname#69788

極座標というものを調べてください。

お礼

ありがとうございます。