x=arctan(1/x)の解き方

質問

x=arctan(1/x)の解き方が解りません。
実際に解きたい数式は、
x=定数＋arctan(√(v^2/x^2)+定数)
になってます。vは変数です。
そこで、x=arctan(1/x)の解き方がわかる方がいらっしゃいましたらお教えください。
数値計算の方法だけでもお教えいただけると幸いです。
どなたかお願いいたします。

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

解析解は求められないことは知っているのかもしれないですね。

なので、自分でニュートン法などで近似することになりますが、
ふつうは面倒なので、
Mathematica,Maximaなどのソフトを使って計算します。
その他、Mathematicaを開発しているWolfram社の次のサイトを用いるのがよいでしょう。

http://www20.wolframalpha.com/

数式の書き方などはMathematicaの書き方に準じればほぼ大丈夫ですが、
所望の方程式を解くのなら、

Solve[x == ArcTan[1/x],x]

と打てば大丈夫です。

Solve[x == c1 + ArcTan[Sqrt[v^2/x^2] + c2] ,x]

で2つ目の式は解くことができます。
英語サイトですが、今後のために知っておくとよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
ニュートン法？ニュートンラプソン法？
とかすごく悩んでましたｗ
サイト添付もしていただきまことにありがとうございます。
がんばって解いてみます！！

回答No.3

noname#101087

スプレッド・シートでの小実験ですが…。
f(x) = atan(1/x) の不動点へ逐次収束させる手順。

　atan () 関数を使用。
　xo からスタート。
　atan (1/x0) を x1 とする。
　atan (1/x1) を x2 とする。
　.......

一例ですが xo = 0.1 でも、atan (1/x33) = x33 = 0.8603 ...... に収束してくれました。

回答No.2

info22

>x=arctan(1/x)
f(x)=arctan(1/x)-x=0
をニュートン法（ニュートン=ラプソン法）で数値計算をすれば良いでしょう。ニュートン法が高校の数学で学習すると思います。

f(x)は奇関数ですから解も正負対称なものが存在します。
ニュートン法の初期値をxo=1として数値計算の近似値を求めると
x=0.860331500207…
と求められます。
従って、解は
x=±0.860331500207…　…（■)

-π/2<arctan(1/x)=x<π/2なので
解のxは　-π/2<x<π/2(x≠0)　の範囲に存在するだけです。
y=xとy=arctan(1/x)のグラフを描くと交点は2個しか存在せず、
その交点のx座標が（■）になります。