erfc(x)を含む積分

質問

次の計算がうまく出来なくて困ってます。

∫ {exp(x^2) * erfc(x)}^2 dx

積分範囲は、∞～a (a＞0)です。
初等関数では表せないと思うので、何とか近似して数式で表現したいです。
（数値計算ではなく）

よろしくお願いします。

回答No.1

inara1

a < 0.3 または 6 < a ならば高精度の近似式が作れます。a の範囲はこのどちらかになりますか？

問題の定積分は
　　∫[x = a ～ ∞ ] { exp( x^2 )*erfc(x) }^2 dx
　　　= ∫[x = 0 ～ ∞ ] { exp( x^2 )*erfc(x) }^2 dx - ∫[x = 0 ～ a ] { exp( x^2 )*erfc(x) }^2 dx
　　　= 0.70323437738233411669437186568 - ∫[x = 0 ～ a ] { exp( x^2 )*erfc(x) }^2 dx
と変形できるので、a が 0 に充分近いとき、上式の第二項を a = 0 周りで展開した近似式
　　　問題の積分 = 0.70323437738233411669437186568 - ( a + b1*a^2 + b3*a^3 + b4*a^4 + ・・・ )
が作れます。これを b19 まで計算すると、a < 0.3 のときの相対誤差は 10^(-12) % 未満にできます。

一方、a が非常に大きい場合、問題の積分は
　　∫[x = a ～ ∞ ] { exp( x^2 )*erfc(x) }^2 dx ≒ 1/( a*π )
で近似できますが、a >> 1 の場合
　　問題の積分 = ( 1/a + c3/a^3 + c5/a^5 + ・・・ )/π
と展開できます。c37まで計算すると、6 < a のときの相対誤差は 10^(-12) % 未満にできます。