偏導関数(変数変換とヤコビアン)の問を教えて下さい

質問

(1)x=rcosθ、y=rsinθの時、次を計算しなさい。
　　 (∂x/∂r　∂x/∂θ)
det ( )=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
(∂y/∂r　∂y/∂θ)
を計算しなさい。
(2)
r=(x^2+y^2)^(1/2)、θ=Arctan(y/x)の時、次を計算しなさい。
　　 (∂r/∂x　 ∂r/∂y )
det ( )=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)
(∂θ/∂x　 ∂θ/∂y)
xはエックスです。
皆さん、どうぞお願いいたします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(1)x=rcosθ、y=rsinθ　のとき

∂(x,y)/∂(r,θ)=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)=cosθrcosθ+sinθrsinθ=r

(2)r=(x^2+y^2)^(1/2)、θ=Arctan(y/x)のとき

∂(r,θ)/∂(x,y)=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)を求めよ。

r=(x^2+y^2)^(1/2) ⇒ r^2=(x^2+y^2)

θ=Arctan(y/x)　⇒　tanθ=y/x

これはx,yについて解くとx=rcosθ、y=rsinθとなる。

r^2=(x^2+y^2)の両辺をxで偏微分して

2r(∂x/∂r)=2x　⇒∂x/∂r=x/r=cosθ, 同様に∂y/∂r=y/r=sinθ　

tanθ=y/xの両辺をxで偏微分して

(∂θ/∂x)(∂tanθ/∂θ)=-y/x^2=-sinθ/cos^2θ

∂tanθ/∂θ=1/cos^2θ, y/x^2=sinθ/cos^2θより

∂θ/∂x=-sinθ/r

tanθ=y/xの両辺をyで偏微分して

(∂θ/∂y)(∂tanθ/∂θ)=1/x=1/rcosθ

∂θ/∂y=cosθ/r

∂(r,θ)/∂(x,y)=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)=cos^2θ/r+sin^2θ/r=1/r

お礼

どうもありがとうございました。
理解できました