- ベストアンサー
arctanについて
１/ｙ＾２＋１を積分したときにarctanになることは理解したのですが、 積分区間が0から∞のときにπ/２になる理由がわかりません。 どなたかご教授いただけませんか？ なおこの問題はLebesgue積分の一部の計算から引っ張ってきています。
- riverikamusume
- お礼率28% (2/7)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
arctan が何物か理解できていますか? あと, 「１/ｙ＾２＋１を積分したときにarctanになる」というのは正確な表現ではありません. ふつう 1/y^2+1 と書いたらこれは (1/y^2)+1 を意味するものだし, 「arctan」といっても引数が何かわからないでしょ?
補足
では少し正確に。 ∫0から∞1/(y^2+1)dyを計算して、[arctan（y）]０から∞までは 理解しているのですが、 講義ノートにはその値がπ/２と書いてあるので、 その理由をご教授いただきたいので投稿しました。
関連するQ&A
- arctanやarcsinが使われている2変数関数の解き方
arctanやarcsinが含まれる2変数関数 f(x,y)を偏微分する方法に ついて質問です。 一応はといてみたのですが自信がありません、 間違っている箇所があれば、ご指導いただければと思います。 (できれば、計算プロセスも詳しく書いていただけるとありがたいです。) 【問題】 次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。 すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。 (1) arctan(y/x) 合成関数の微分の公式を用いる。 y/xをuとおくと、arctan(y/x)=arctan(u) 微分して arctan(u) = 1/(1+u^2)…(1) y/xを微分して (y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=y/x^2…(2) (1)(2)を合わせて、1/(1+(y/x^2)^2)=1/(1+y^2/x^4) (2) arcsin(y/x) 合成関数の微分の公式を用いる。 y/xをuとおくと、 arcsin(y/x)=arcsin(u) 微分して arcsin(u) = 1/√(1-u^2)…(1) y/xを微分して (y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=y/x^2…(2) (1)(2)を合わせて、1/√(1-(y/x^2)^2)=1/√(1-y^2/x^4) 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分計算 分解したら駄目？
大学への数学[一対一対応の演習」という問題集の P94の演習問の積分計算なのですが 以下の積分計算が理解できません。 積分区間は-a<y<1-aで ∫[(e~y+2a)-{e~1-a (y+a)+2a}]dy =[e~y-e~1-a×1/2(y+a)~2] と解答はなっているのですが 式を分解して ∫の中身をe~y-ye~1-a -ae~1-aとして 積分計算すると [e~y-1/2y~2e~1-a -aye~1-a] となり答えが違ってきます どこが間違っているのでしょうか？ 解法のやり方も理解はできるのですが 分解すると答えが違う理由がわかりません。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義重積分の問題が解けません
Arctan(x/y)を第１象限の四半球（半径a）上（集合Kとする）において積分したいのですが、答えまでたどり着きません。 分かる方、教えてください。 以下、途中まで計算してみたところです。 間違ったところがあればあわせて教えていただければ幸いです。 広義積分と考えて解く。 Arctan(x/y)はK上正なので、Kに収束するある集合列｛Km｝について極限を求める。 Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。 ∬Arctan(x/y)dxdy =∫(1/m～√(a^2-(1/m)^2))dy∫(1/m～√(a^2-y^2)) Arctan(x/y)dx dxの部分を積分すると（以下明らかな部分は区間省略） ∫Arctan(x/y)dx =[xArctan(x/y)-(1/2)log(1+(x/y)^2)] =√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)-(1/2)log(a^2/y^2)-(1/m)Arctan(1/(my))-(1/2)log(1+1/(my)^2) この結果を1つずつyで積分する。 (1)∫√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)dy (2)∫-(1/2)log(a^2/y^2)dy (3)∫-(1/m)Arctan(1/(my))dy (4)∫-(1/2)log(1+1/(my)^2)dy (2)=-∫log(a/y)dy =∫(logy-loga)dy =[ylogy-y-yloga] =略 (3)=-(1/m)∫Arctan(1/(my))dy =-(1/m)∫(π/2-Arctan(my))dy =[-(π/2m)y+myArctan(my)-(1/2m)log(1+(my)^2)] =略 (1)と(4)はまったく分かりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ルベーグ積分について教えて下さい。
ルベーグ積分はリーマン積分とは異なり、横方向にグラフをスライスし、その和をとることで行う積分ですが、 いろいろな書籍を見たところ、ディリクレ関数などリーマン積分出来ない関数に関しては計算が載っているのですが、 リーマン積分可能な関数に関しては見かけたことがありません。 例えば y=x^2を-10～+10 までルベーグ積分しようと思ったらどうすれば良いのでしょうか？ 一応、私の中で回答はあるのですが、極めて面倒くさいので本当かどうか分かりませんのでどなたか教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- arctanのフーリエ級数展開について
こんにちは。 今物理の計算をしていまして、 arctan(sin(πx)/(1-cos(πx)))=Σ(n=1→∞)(sin(nπx)/n) という公式が出てきまして、これを左辺をフーリエ級数展開して導こうとしたのですが、うまくできなません。 もう、５時間以上考えているのですが計算が合わず途方に暮れております。 具体的な計算方法を含めどうかご教授お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ルベーグ積分に関する質問です。
ルベーグ積分に関する質問です。 f:(-π,π)→（実数または±∞）とし、fは(-π,π)上ルベーグ積分可能とします。 (-π,π)に含まれる任意の区間(a,b)上での積分が0すなわち∫_a^bf(s)ds=0とします。 この時、fがほとんどいたるところ0になることを証明してほしいです。（そもそもfはほとんどいたるところ0になりますか？）
- 締切済み
- 数学・算数
- ルベーグ積分特有のテクニック
大学でルベーグ積分を1年間勉強したのですが、積分できる関数のクラスがリーマン積分より広がっただけで、実際に積分するのに新しい置換方法などのテクニックを知ったわけでもなく、複素解析で「こんな関数の積分もできるんだ」というような驚きを感じませんでした。 リーマン積分が縦切り、ルベーグ積分は横切りで、という話もありますが、その横切りを直接計算するテクニックもなく・・・・。 結局何がしたいのでしょうか？ 何につかえるのでしょうか？ ルベーグ積分特有のテクニックってあるんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
あの後確認してようやく理解できました。 ありがとうございました。