- ベストアンサー
積分順序変更について
- 積分順序変更についての要約文1
- 積分順序変更についての要約文2
- 積分順序変更についての要約文3
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- ２重積分の積分順序変更
２重積分の積分順序変更 「∫[0→2]∫[0→2x](f(x,y))dxdy の積分順序を変更せよ」 という問題の解説をどなたかしていただけませんでしょうか。 ∫[0→2x]∫[0→2](f(x,y))dxdyであるのならば解けるのですが、 ∫[0→2]∫[0→2x](f(x,y))dxdy（積分順序変更前のxの範囲が0≦x≦2x？）がわかりません。（誤植じゃないかと疑ったほどで…） お手数をおかけしますが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の積分領域の図示を積分順序の交換について
1.∬f(x,y)dydx （（x,y）|-1≦x≦1,0≦y≦e^x） という問題です。 これの積分領域の図示はy≦e^x（-1≦x≦1）で、 積分順序を交換すると （（x,y）|log y≦x≦1,0≦y≦e）でしょうか？ 2.∬f(x,y)dxdy （（x,y）|y-1≦x≦y+1,1≦y≦2） これの積分領域はy≦x+1,x-1≦y,y≦2,1≦yだと思うのですが 積分順序交換はどうなるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜=｜cosθ -rsinθ｜｜dr ｜ ｜dy｜ ｜sinθ rcosθ｜｜dθ｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =｜cosθ -rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r ｜sinθ rcosθ｜ のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？ たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜ ｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜ ｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜ |J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜ であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分について。
重積分 解答を教えて下さい。 答えが無いので自分の回答が 正解かわかりません。どなたか回答お願いします。 1 ∬D xy dxdy (D={(x,y)∈R^2｜0≦x≦1,0≦y≦1}) 2 ∬D (|x|+|y|)dydx (D={(x,y)∈R^2 |x|+|y|≦1}) 3 ∬D (x^2+y^2)e^(x^2+y^2)^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}) 4 ∬D xy/x^2+y^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|y≧x,1≦x^2+y^2≦2}) 1 普通に計算して1/4 2 4通りの場合分けをする→原点に対称なひし形ができる。 絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４ 3 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1) 4 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる 代入してrから積分して・・・とすると積分が0になってしまいました。 積分の範囲が間違えたのかな？と思いましたができませんでした。 文章ぐちゃぐちゃで読みにくいですが回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標変換を用いる３重積分なんですが
極座標変換を用いる３重積分なんですが D:0＜ｘ≦ｙ ｚ≧0 ∬∫D e^(-x^2-y^2-z^2)/x^2+y^2+z^2 dxdydz これを極座標表示をすると ∬∫E e^(-r^2)sinθ drdθdφ となったんですが 積分範囲Eがわかりません・・。 どなたかご教示お願いします・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分 球面座標変換 数学
(1)～(3)の広義積分を解いてください、お願いします (1) I=∬∫D 1/(x^2+y^2+z^2)^2 dxdydz D：1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (1≦x^2+y^2+z^2≦a^2,x≧0,y≧0,z≧0として球面座標変換を行う) (2)I=∬D {log(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)^(1/2) dxdy D：0≦x^2+y^2≦4,x≧0,y≧0 (3)I=∬D {e^-(x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^(1/2) D：1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (4) I=∬[D] 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz D：{(x,y,z)|1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0} 球面座標変換を用いること 球面座標変換 x=rcosφsinθ, y=rsinθsinθ, z=rcosθ を用いること D ⇒ E：{(r,θ,φ)| 0≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2} E：{(r,θ,φ)| 1≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2}なぜこうならないのかも教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 三重積分の問題がわかりません。
学校の問題なんですが、 (1)∫∬D(z^n)dxdydz D：|x|+|y|+|z|≦a (2)∫∬1/(1+x^2+y^2+z^2)^2dxdydz の二問が解けません。 (1)は積分区間をどうすればいいのか解りません。 (2)は球座標に変換すると ∫∬r^2sinθ/(1+r^2)^2drdθdφ 0≦r≦∞,0≦θ≦π,0≦φ≦2π, となってr以外積分をすると 4π∬r^2/(1+r^2)^2dr となり、この後がうまくいきません。 この後はどうすればいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど。 積分区間に変数がある場合、その変数は後に積分しなければならないのですね。 ありがとうございました。