２重積分

質問

２重積分の順序について、
∫（１→２）∫（１→ｅ)１／ｘｄｘｄｙを∫（１→ｅ）１／ｘｄｘとして計算してもよいのでしょうか。ｄｘｄｙとかｄｙｄｘにはその順番どおりに積分せよという順序が指示されているのですか。
問題の解答も教えてください。

回答No.1

etaoinshadaloo

外側の積分の範囲が閉区間[1,2]で、内側の積分の範囲が閉区間[1,e]となっており、
xやyに依存していなければ、順番を入れ替えても影響はありません。

特に本問の様に、積分範囲がどちらも定数であれば、積分∫は、離散和Σの極限なので、
xに関する積分とyに関する積分とをそれぞれ計算してから、
両者の積をとっても構いません（変数分離ともいう）。

さて本問の回答ですが、
∫（１→ｅ）１／ｘｄｘ＝[log_e x]（１→ｅ）＝1－0＝1
∫（１→２）ｄｙ＝[y]（１→２）＝2－1＝1
なので、1・1＝1と計算できます。

お礼

ありがとうございます。