重積分の問題です。教科書の問題がどうしても分からな

質問

重積分の問題です。教科書の問題がどうしても分からないので質問させていただきます。
∬ 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
積分区間は、(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0 です。
なんとなく極座標の問題のような気はするのですが、積分区間の条件からうまくrとθの条件を導けません。

ちなみに答えは π/4-1/2 となっています。
どうか解法を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

x=r cos(t),y=r sin(t)
とおいて置換積分
積分領域D={(x,y)|(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0}
これはレムニスケート曲線の右半分の内部領域（境界を含む）ですね。
参考URL
ttp://whatever.doorblog.jp/archives/21637791.html

積分領域Dと被積分関数がともにx軸対称あることからy>=0の積分領域D'(E)での積分を二倍すればよい。
D→D'={(x,y)|(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0,y>=0}
⇒E={(r,t)|0<=r<=√cos(2t),0<=t<=π/4}

∬[D] 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
=2∫[D']1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
=2∫[E] 1/(1+r^2)^2 rdrdt
=2∫[0→π/4] {∫[0→√cos(2t)] r/(1+r^2)^2 dr}dt
=2∫[0→π/4] {[-(1/2)/(1+r^2)][0→√cos(2t)]}dt
=∫[0→π/4] 1-1/(1+cos(2t)) dt
=(π/4)-∫[0→π/4] 1/(1+cos(2t)) dt
=(π/4)-∫[0→π/4] (1/2)/(cos(t))^2 dt
=(π/4)-(1/2)[tan(t)][0→π/4]
=(π/4)-(1/2)
=(π-2)/4

参考URL：

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Lemniscate.html