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ルベーグ積分に関する質問です。

ルベーグ積分に関する質問です。 f:(-π,π)→（実数または±∞）とし、fは(-π,π)上ルベーグ積分可能とします。 (-π,π)に含まれる任意の区間(a,b)上での積分が0すなわち∫_a^bf(s)ds=0とします。 この時、fがほとんどいたるところ0になることを証明してほしいです。（そもそもfはほとんどいたるところ0になりますか？）

みんなの回答

回答No.1

たぶんこんな感じだと思う m((a,b]) = b-a としてルベーグ測度を構成したように μ((a,b]) = int[(a,b]]f(x)dx として測度を構成する m ルベーグ測度 f = g - h g = max{f,0} h = max{0,-f} J = 右閉集合(a,b]の直和全体 G(A) = int[A]g(x)dm H(A) = int[A]h(x)dm GとHはルベーグ集合体上の完備測度 GとHの誘導外測度を MG(A) = inf{G(E)|A⊂E, E?J} MH(A) = inf{H(E)|A⊂E, E?J} int[a,b]f(x)dx = 0 ⇒ G((a,b)) = H((a,b)) だから MG = MH GはMGから、HはMHから決定される完備測度と一致する MG = MH だから G = H したがって、任意のルベーグ可測集合Aに対して inf[A]f(x)dx = 0 t > 0とする A(t) = {x ? T | g(x) > t}とすると 0 = int[A(t)]f(x)dm = int[A(t)]g(x)dm ≧ tm(A(t)) よって m(A(t)) = 0 t　→　∞ とすれば m(A(0)) = 0 つまり、g = 0 a.e. hも同様

kenianonityan
質問者

お礼

簡単な論理でわかりやすかったです。ありがとうございます。 測度ってこういう風にも使えるんですね。引き続き勉強をがんばります^^

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