微分についてです。

質問

至急お願いします。

ｚ＝３/{１＋√（x^2+y^2）}

かっこの中身はルートの中身です。

ｘで微分したらどうなりますか？

やり方と、途中過程よろしくお願いします。

どちらかだけでもいいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足です。
求めたz'は xとyは独立変数として
z'=∂z/∂xを計算したものです。

もし、xが独立変数、yがxの従属変数y=f(x)の場合のような微分計算は
A#1と異なり以下のようになります。
z'=dz/dx=-3(2x+2yy'){1/(2√(x^2+y^2))}/{１＋√(x^2+y^2)}^2
=-3(x+yy')/[{√(x^2+y^2)}{1+√(x^2+y^2)}^2]
=-3(x+yy')/{2(x^2+y^2)+(1+x^2+y^2)√(x^2+y^2)}

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

Mr_Holland

合成関数の微分と分数の微分　を使ってみましょう。

　t=x^2+y^2, s=√t とおきます。　このとき　z=3/(1+s)　と書けます。
　zをxで微分したものをz', tをxで微分したものをt', sをxで微分したものをs' としますと、

　　z'=-3s'/(1+s)^2　　　　　　　　　　　　　　　　←　分数関数の微分公式を利用。　(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
　　s'={t^(1/2)}' =(1/2)t'*t^(-1/2) =t'/(2√t)　←　冪乗の微分公式を利用。　(f^α)'=αf'f^(α-1)　（α≠0のとき）
　　t'=(x^2+y^2)' =(x^2)' =2x

　これらをまとめると　z' がxとyだけで表せます。

　　z'=-3s'/(1+s)^2
=-3{t'/(2√t)}/(1+√t)^2 = -3t'/{2√t*(1+√t)^2}
=-3*2x/[2√(x^2+y^2)*{1+√(x^2+y^2)}^2]
=-3x/[{1+√(x^2+y^2)}^2 *√(x^2+y^2)]

　＃１さんのように一気に微分できればいいのですが、慣れるまでは合成関数を文字において１つずつ微分していくとよいと思います。

お礼

ありがとうございます。。

回答No.1

info22_

単なる合成関数の積分だから自分で計算するようにして下さい。

「'」をxによる微分とすると

z'=-3{1+√(x^2+y^2)}'/{1+√(x^2+y^2)}^2
=-3x/[√(x^2+y^2){1+√(x^2+y^2)}^2]
=-3x/{2(x^2+y^2)+(1+x^2+y^2)√(x^2+y^2)}

お礼

ありがとうございます。