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偏微分について

偏微分 ∂/∂x(x/(x^2+y^2+z^2))の やり方について教えてください。 また、解答集では途中式として{(1/(x^2+y^2+z^2))-((2x)/(x^2+y^2+z^2)^2)} となり答えを導いているのですがこれ自体はどうやって導くのでしょうか? よろしくお願いします。カテゴリ違いだったら申し訳ないです。

noname#226952
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  • 回答No.3
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)

この手の偏微分はベクトル解析や物理数学のポテンシャルの計算等で頻出します。 r^2=x^2+y^2+z^2 と置くと見通しがよくなります。rはxを含み、変数です。分数関数の微分 ∂(f/g)/∂x=(f'g-fg')/g^2 を用います。 ∂/∂x(x/(x^2+y^2+z^2))=∂/∂x(x/r^2)=(r^2-x・2x)/r^4=(-x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^4 (1) >解答集では途中式として{(1/(x^2+y^2+z^2))-((2x)/(x^2+y^2+z^2)^2)} (1)において ∂/∂x(x/(x^2+y^2+z^2))=∂/∂x(x/r^2)=(r^2-x・2x)/r^4=1/r^2-2x^2/r^4 という。ほぼ無駄なことをしています。

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  • 回答No.2

>∂/∂x(x/(x^2+y^2+z^2))の > やり方について教えてください。 偏微分というのは、 注目する変数以外のものは定数と見做して微分する方法です。 ですから 質問の式の場合は d/dx(x/(X^2+a+b)) の微分と同じです。 >また、解答集では途中式として{(1/(x^2+y^2+z^2))-((2x)/(x^2+y^2+z^2)^2)} >となり答えを導いているのですがこれ自体はどうやって導くのでしょうか? 微分の公式で d/dx(f(x)・g(x))=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x) から求めます。

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  • 回答No.1
noname#232123
noname#232123

f(x, y)=x/{x^2+y^2+z^2) を、xだけが変数であると考え、他は定数扱いします。したがってこの場合xでの偏微分は、x/(x^2+a) と扱いは同様です。 ∂f/∂x ={1*(x^2+y^2+z^2) - x*(2x)}/{x^2+y^2+z^2}^2 ∂f/∂y =x*(-2y)/{x^2+y^2+z^2}^2 と計算します(まとめていません)。

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