整数問題

質問

７＾ｎ＋２００＝ｋ＾２が成り立つとき、ｎは偶数であることを示せ。
です。数学的帰納法でしょうか？類題がでた時にどのように対処したらよいのでしょうか。パターンがあったら教えて下さい。パターンが記載されているサイトもよろしければ、紹介してほしいです。

回答No.6

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　帰納法は、「すべての自然数nに対して・・・」証明するパターンですから、
この場合には当てはまりませんね。

　この問題のように、まったく関係がない数と思われる７＾ｎとｋ＾２のような数が
証明すべきものに含まれるときは、昔の数学者（何世紀も前）の人たちがやったように
具体的に取り掛かるのが、解くヒントになります。

　この問題は、そのような数が「存在すれば」・・「ｎは偶数」ということです。

そこで、７＾ｎのパターン、
ｋ＾２のパターンを調べます。
（ｎが整数の設定なので、ｋは整数、さらにｍ、ｋともに自然数と設定しても、
　　いいことが右辺に２００があり説明可能ですから、問題の本質は変えませんね。）

　問題が難しく感じられるときには、
昔の数学者（何世紀も前）の人たちがやったように
やってみるのが、解法に近づくいい方法です。

多少計算が面倒でも、昔の人ほどわれわれは計算に
苦労するわけではないですからね。

　言い換えれば、定義、原則に戻るのが、解法の基本ということなのでしょうか。

７＾ｎは、１の位に７，９，３，１がこの順に規則的に現われる。（証明可能）
ｋ＾２は、１の位が、２，３，７とはなりえない（証明可能）

７＾ｎは、ｎが奇数のときに１の位が３、または７となり
７＾ｎ＋２００＝ｋ＾２
は成り立ち得ない。

ｋ＾２＋２００は、１の位が３または７にはならないから。（平方数＋２００なので）

したがって
７＾ｎ＋２００＝ｋ＾２
が成り立つ可能性は、ｎが偶数のときしかない。

以上ですが、
この問題は、そもそもそのような関係のｎとｋがあるのか？という問題に
取り組む途中で発生した問題ではないかと推察します。
出題者がであったのか、文献で拾ったのか、ただ思いついたのかは
わかりませんが、・・・・・

それでこの続きですが、
n=2m
とおいて
ｋ＾２－７＾２ｍ＝２００
（K＋７^m)(ｋー７^m＋）＝２００
ですが、７＾ｍもｋも奇数なので、左辺の積は、偶数かける偶数
したがって１００と２か５０と４か２０と１０しかありえないことになります。

K＋７^m＝１００
Kー７^m＝２
から、ｍ＝２、ｋ＝５１つまり
ｎ＝４、ｋ＝５１です。

K＋７^m＝５０
Kー７^m＝４

これを満たす、ｎとｋはありません。

K＋７^m＝２０
Kー７^m＝１０

これを満たす、ｎとｋはありません。

検証
　７＾４＝２４０１
５１＾２＝２６０１

　このような自然数のべき乗と、平方数を調べることは、
面白いですね。

回答No.5

Mr_Holland

ANo.4さんへ、

＞これ以外に等式7^n + 200 = k^2を満たす自然数n, kは存在しないはずです。
＞7^n + 200 = k^2を変形して200 = k^2 - 7^nなので
＞200 = {k + 7^(n/2)}{k - 7^(n/2)}
＞となります。

　やはりそうでしたか。
　何となく他に解はなさそうだとは思ったのですが、200の約数で導くことは考えていませんでした。
　なるほど、この因数分解を狙って、ｎが偶数であることを示させたのかもしれないと悟りました。
　よい勉強をさせて頂きました。ありがとうございました。

質問さんへ、
　とんだ回答者同士のコメントで失礼しました。
　このままでは質問者さんに申し訳ないので、ANo.3で書き忘れたことを一言。
　（参考2）でいろいろな記数法での見分け方を記しましたが、できるだけ小さな記数法での見分け方の方が　平方数になるパターンが少なく、合同式の計算も楽になります。
　そのため、この問題では　4進数で　考えるのが最も効率的です。

　以上、失礼しました。

回答No.4

R_Earl

ANo.3の方へ

> （参考1）
> 　証明としては「y^n+200=k^2」が成立するか否かは問うていないので以上で十分だと思いますが、一応等式が成立するｎを求めておきますと、
> 　　n=4　のとき　k=51 =3^2 17^2
> で成立します。
> 　後は表計算ソフトでn=18のときまで調べてみましたが、ここまでのところ解は見つかりませんでした。

これ以外に等式7^n + 200 = k^2を満たす自然数n, kは存在しないはずです。

7^n + 200 = k^2を変形して200 = k^2 - 7^nなので
200 = {k + 7^(n/2)}{k - 7^(n/2)}
となります。
nが偶数なら{k + 7^(n/2)}と{k - 7^(n/2)}は両方とも自然数です。
なので後はかけて200になる2数の組み合わせを考え、
それが{k + 7^(n/2)}と{k - 7^(n/2)}に一致するかどうかを確認すれば良いです。
この時{k + 7^(n/2)}と{k - 7^(n/2)}の差が2・7^(n/2)である事に注目すると、
かけて200になる2数の組み合わせの中から
「差が2・7^(n/2)の形となるもの」だけを探せば良い事が分かります。

この条件に合致する2数は(100, 2)のみで、この時n = 4, k = 51となります。

回答No.3

Mr_Holland

【証明】
　自然数の平方数の一の位は限られることから　ｎ：奇数　のとき成立しないことを合同式を使って示し、背理法によって証明します。

　n=2m+1(mは０以上の整数)としますと、
　7^n+200
=7^(2m+1)+200
=7*49^m+200
=(10-3)*(50-1)^m+200
≡(-3)*(-1)^m　　(mod 10)
≡3,7 (mod 10)　　　・・・・・(1)

　さて、自然数の平方数の一の位は、1から10までの平方数の一の位に限られ、それは　0,1,4,5,6,9　の６ケースしかありません。　　　・・・・・・☆

　式(1)から　n=2m+1 のとき　7^n+200 はこのケースに該当しないので平方数ではありません。
　故に、ｎが奇数のとき「y^n+200=k^2」は成立しません。
　従って、背理法から　「y^n+200=k^2」が成り立つならば、ｎは偶数です。

【以下、参考】
（参考1）
　証明としては「y^n+200=k^2」が成立するか否かは問うていないので以上で十分だと思いますが、一応等式が成立するｎを求めておきますと、
　　n=4　のとき　k=51 =3^2 17^2
で成立します。
　後は表計算ソフトでn=18のときまで調べてみましたが、ここまでのところ解は見つかりませんでした。

（参考2）
＞数学的帰納法でしょうか？

　連続してある関係が成立することが言えるときは有効だと思うのですが、今回はどこで等式が成立するのか、成立すればその後も規則的に成立してくれるのか、といったことが分からないので、数学的帰納法を使うとすれば大変でしょう。
　また、背理法を使って奇数で連続的に成立しないことを数学的帰納法でいうこともできるかもしれませんが、成立しない条件の下では使いづらいでしょう。

（参考3）
　今回は10進表記での一の位（10で割った余り）に着目して平方数であるか否かを見分けましたが、他の表記法での一の位（他の自然数で割った余り）に着目しても構いません。
　例えば、２進表記から９進表記の間では、平方数か否かについて次の見分け方ができます。

　　2進表記：　（見分け不能）
　　3進表記：　0,1
　　4進表記：　0,1　　　（偶数の平方数のとき0,奇数の平方数のとき1）
　　5進表記：　0,1,4
　　6進表記：　0,1,3,4　（偶数の平方数のとき0,4、奇数の平方数のとき1,3）
　　7進表記：　0,1,2,4
　　8進表記：　0,1,4　　（偶数の平方数のとき0,4、奇数の平方数のとき1）
　　9進表記：　0,1,4,7
　　10進表記： 0,1,4,5,6,9　（偶数の平方数のとき0,4,6、奇数の平方数のとき1,5,9）

　従って、今回の問題の「7^(2m+1)+200」の場合には 4進(3)・5進(2,3)・8進(7)・10進(3,7)での見分けが有効だったということです。

　ちなみに、nが偶数のときで等式を性質させる条件を探してみますと　ｋについて次のことが分かりました。これだけでは条件が弱いですが。

　　k≡3 (mod 6), k≡1,3,7 (mod 10)
　　（n=4 のときの　k=51 はこの条件をもちろん満たします。）

　以上、お役に立てれば幸いです。

回答No.2

R_Earl

> 数学的帰納法でしょうか？

数学的帰納法は「全てのnについて～～が成り立つ事を示す」という時によく使われます。
今回はそういったタイプの問題ではないので、使いにくいと思います。

> ７＾ｎ＋２００＝ｋ＾２が成り立つとき、ｎは偶数であることを示せ。

kは整数でしょうか。そうだとしたら、
nが奇数の時に7^n + 200が平方数にならない事を示せば良いと思います(背理法)。
これでとりあえず「7^n + 200 = k^2は、nが奇数の時には成り立たない」事が示せます。
つまりこれで、「7^n + 200 = k^2が成り立つとしたら、nは偶数」という事が
示せたことになります。後はなんでも良いので、
7^n + 200 = k^2を成り立たせる偶数nを見つけてください。
そうすれば「7^n + 200 = k^2は、nが偶数の時にのみ成り立つ」事が示せます。

nが奇数の時に7^n + 200が平方数にならない事を示したい場合、
「7^n + 200(nは奇数)の1の位」と「平方数の1の位」を見比べてみると
何か分かるかも知れません。

> パターンがあったら教えて下さい。

前述のように「全ての……について～～が成り立つ事を示す」という形式の問題は
数学的帰納法が使いやすいです。
……の部分には、「自然数n」や「偶数n」や「3の倍数n」等のような言葉が入ります。

「全ての……について」という言葉（や意味）が無い証明問題に関しては、
普通に式変形して示すか、それが難しいなら背理法、対偶等を利用しています。

回答No.1

sotom

ｋの条件付は？