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無作為抽出で平均年齢30歳になる確率
papa-gumaの回答
- papa-guma
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No.3 です。 この問題のように、ある確率分布を持ったものから、数個のサンプルを取り、 平均値を取るといった操作を繰り返すのは、サンプル数の増加に従い、 急速に正規分布に収束します。 これは、No.10 さんの解説の通り、中心極限定理で保障されています。 ただ、中心極限定理では、平均値と標準偏差の２つの値で 最初の分布を単純化しているため（この２値で決まる、 というのがまたすごい所で、応用範囲が大きいのです。） 条件が整わないと、精度が今一つになります。 というわけで、シミュレーションで数値を出していたのですが、念のため、 数学的に解いてみました。 こういう離散的な確率の足し算は、畳み込み和で表すことが出来ます。 結論から申しますと、n=8760902 (総和)として、 (114764 + 129829 x + 139317 x^2 + 156213 x^3 + 168990 x^4 + 181678 x^5 + 185709 x^6 + 187437 x^7 + 189819 x^8 + 193936 x^9 + 201216 x^10 + 205167 x^11 + 207597 x^12 + 211507 x^13 + 214705 x^14 + 226978 x^15 + 235054 x^16 + 230807 x^17 + 227315 x^18 + 220988 x^19 + 216615 x^20 + 213950 x^21 + 218324 x^22 + 158336 x^23 + 202569 x^24 + 187105 x^25 + 173772 x^26 + 164315 x^27 + 156465 x^28 + 153510 x^29 + 147778 x^30 + 145646 x^31 + 134967 x^32 + 136167 x^33 + 139211 x^34 + 138967 x^35 + 141882 x^36 + 151812 x^37 + 157961 x^38 + 171561 x^39 + 198236 x^40 + 197308 x^41 + 201501 x^42 + 137814 x^43 + 122194 x^44 + 150353 x^45 + 160989 x^46 + 154820 x^47 + 155493 x^48 + 142255 x^49)^11/n^11 で表される x^m の係数が、11回ランダムに選んで年齢を足した和が m+20*11 になる確率となります。 平均年齢31.0歳未満というのは、11回の和が340以下、 平均年齢34.3歳未満というのは、11回の和が377以下 ということですので、 平均年齢31.0歳未満になる確率は、上述した式の、第121項(x^120)までを とって、x に 1 を代入したものと一致します。 平均年齢34.3歳未満になる確率は、上述した式の、第158項(x^157)までを とって、x に 1 を代入したものと一致します。 よって、【厳密解】は、次のようになります。 【 平均年齢31.0歳未満になる確率は、0.000646731 ≒ 0.0647% 】 【 平均年齢34.3歳未満になる確率は、0.0111554 ≒ 0.0112% 】 No.3 の結果は、これに良く一致することが解ります。 ２回判決があって、１回が平均年齢31.0歳未満、あと１回が 平均年齢34.3歳未満になる確率は、 2*0.000646731*0.0111554 ＝ 0.0000144291 であって、 そんなことが起こるのは、約10万回に１度の確率と言えます。 繰り返しますが、この仮定は平均値が若くなりやすいように設定されたもので、 実際には、No.5 にありますように、約百万回に一度のことが起こったと 考えるのが普通です。
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お礼
何度も投稿いただき、大変感謝しております。 ただ、今回のご指摘は私の理解を超えています。猫に小判になってしまって申し訳ない気持ちです。 No3でのお答えを参考に、自分なりにCrystalBallというソフトを使って100万回の試行をやってみました。平均が30.9以下になったのが560ケース、確率で0.056％という結果を得ました。 ありがとうございました。