ポンプ選定でその２

質問

ポンプ選定でその２
おはようございます。
Ｇｉａｎｔｓと申します。
先日、「ポンプ選定で」にて動力の求め方の基本について質問させてもらいました。
今回損失分も含めたものを次のように考えてみました。
合っているかアドバイスよろしくお願いします。

４階の建物があります。
下図の配管系統とします。

｜｜--->４階　Q(ｍ3)
｜｜(本管　断面積Ｓ、高さH)
｜｜--->3階　Q(ｍ3)
｜｜(本管　断面積Ｓ、高さH)
｜｜--->2階　Q(ｍ3)
｜｜(本管　断面積Ｓ、高さH)
｜｜--->１階　Q(ｍ3)
Ｐｕｍｐ（１階ポンプ）

１階から４階まで断面積Ｓ（ｍ2）の本管
各階の高さＨ（ｍ）
各階の横引き配管断面積Ｓ1（ｍ2）で長さは今回考えない
各階に流量Ｑ（ｍ3／ｓ）の水を供給するポンプ選定をする

必要動力は
各出口流量＊各出口位置水頭　　　　　I
各出口流量＊各出口速度水頭　　　　　II
各部配管流量＊各部配管の損失水頭　　III
の合計と考え

I　位置分
　1階　Ｑ＊０　　　(1)
　２階　Ｑ＊Ｈ　　　(2)
　3階　Ｑ＊２Ｈ　　(3)
　４階　Ｑ＊３Ｈ　　(4)

II　速度分
　各階出口速度は　V=Ｑ／Ｓ1
　速度水頭はV^2/2g　　より
　1階　Ｑ＊V^2/2g　　　(5)
　２階　Ｑ＊V^2/2g　　　(6)
　３階　Ｑ＊V^2/2g　　　(7)
　４階　Ｑ＊V^2/2g　　　(8)

III　摩擦分
　本管流量は
　１－２階は３Ｑ
　２－３階は２Ｑ
　３－４階はＱ
　流速は　　※V(12)は１階から２階の本管の流速の意味です
　１－２階はV(12)=３Ｑ／Ｓ
　２－３階はV(23)=２Ｑ／Ｓ
　３－４階はV(34)=Ｑ／Ｓ

　損失水頭は流速の自乗に比例するから比例定数をＫとして
　　　　　※Ｈｍ12は１階から２階の本管の摩擦による損失水頭の意味です
　１－２階の損失水頭　Ｈｍ12＝ＫＶ(12)^2
　２－３階の損失水頭　Ｈｍ23＝ＫＶ(23)^2
　３－４階の損失水頭　Ｈｍ34＝ＫＶ(34)^2

　１－２階　３Ｑ＊Ｈｍ12　　　(9)
　２－３階　２Ｑ＊Ｈｍ23　　　(10)
　３－４階　　Ｑ＊Ｈｍ34　　　(11)

よって(1)から(11)までの合計が必要動力となる。

回答No.5

masa2211 · ベストアンサー

＞Ｐ＝ｇ＊４Ｑ＊Ｈｔ
＞各部毎に流量は違うので
＞各部流量＊各部水頭と考えなければならないと思うのですが
そうする必要はありません。
1階から出ようが4階から出ようが、ポンプ出口の水圧は同じです。
同じ管、同じ位置、同じ時刻に、管内の圧力が2通りあるということは考えられません。
なので、
水圧を出すのにもっとも簡単な4階で水圧計算したのにすぎません。
たとえば、1階の場合、
速度水頭あり、位置水頭ゼロ、摩擦水頭ゼロ、バルブ損失：ｈｔから速度水頭を引いた値
となり、全水頭を足せば、4階の場合と同じです。よって、まとめ計算可能です。

お礼

ｍａｓａ２２１１さん、回答ありがとうございます。

>そうする必要はありません。
>1階から出ようが4階から出ようが、ポンプ出口の水圧は同じです。
>同じ管、同じ位置、同じ時刻に、管内の圧力が2通りあるということは考えられません。

目からうろこがおちました。
１階も４階も全水頭は同じで、全体としてみた時流量は４Ｑなので
Ｐ＝ｇ＊４Ｑ＊Ｈｔ
でよい事、理解できました。

ありがとうございました。

回答No.4

masa2211

Giantsameさんの計算では、１階の水のためのエネルギー、すなわち管の水の圧力は(1)＋(5)しか見込んでいません。ポンプを１台で済ますには、４階に持ち上げるための圧力を一旦かける必要があります。そして、その圧力をバルブ（蛇口）を半開きすることで消耗します。バルブ消耗の分が計算に入っていません。
そうしないで全バルブを全開（または、バルブなし）だと、全部の水が１階から出てしまいます。

その結果、全部の水が４階から流れ出す場合とほとんど同等のエネルギーが必要。
ほとんど同等の理由は、
１．バルブ全開の場合も損失があるため、IIの速度分のところが、全開の場合でも
　　Ｑ＊V^2/2g＊3　くらいになってしまう。　※バルブの種類により、＊1でいいのもある。
２．摩擦損失分については、全部が４階に行くと考える必要はなく、管の中を実際に流れる分でよい。
という差異があるため。

各階のバルブの損失をいちいち求めるのは面倒なので、普通は４階までのルートで圧力を考え、以下のように計算します。

位置分　　３Ｈ
バルブ分　V^2/2g＊3　　＊3は、バルブ次第なのと管内圧力を一定に保つ必要の有無で変動。
摩擦分　　Ｈｍ12＋Ｈｍ23＋Ｈｍ34
ポンプ出口での圧力：Ｈｔ＝以上３成分の合計
エネルギー：ｇ＊4Ｑ＊Ｈｔ（単位：ｋＷ）

なお、動力（エネルギー）の単位ですが、ｋｗか馬力のような単位にする必要があるでしょうから、
Ｑ＊Ｈでなく、ｇ＊Ｑ＊Ｈｔ　（Ｑはｍ3/ｓ（水1ｍ3は1000kg）　Ｈはメートル）
として、単位をｋｗにするところ、ｇが抜けているので動力の単位が変なことになっています。

以下、余談。
それから、摩擦損失は流量の1.85乗に比例するのであって流量の2乗に比例するわけではない、
という意見があって、配管（塩ビ管、鋼管、ポリ管...のように、管の表面がつるつるの管）の場合確かにそうなのだけど....
各種の公式を一般形であらわすと、まずは
ｈf＝ｆ＊Ｌ／Ｄ＊Ｖ^2／2ｇ
　　D：管の直径　L：管の長さ　他は質問者さんの記号と同じ
とあらわし（ダルシー＝ワイズバッハの式）、
1.85乗比例の場合：ｆ ＝133.7/C^1.85/D^0.167/v^0.148　ハーゼンウイリアムズ式
2 乗比例の場合：ｆ ＝124.5n^2/D^(1/3)　　　　　　　マニング式
Cは流量係数　塩ビ管の場合、140～150
nは粗度係数　塩ビ管の場合、0.0012
というふうに、ｆに差を集約します。
管の流速は、だいたい2～3ｍ/ｓとなる直径で配管するから、この範囲において、
どちらで計算しても大差ないです。（測定値に合うようＣ、ｎを決めている。）
むしろ、Ｈは3ｍ前後なので、
配管の90度曲がり：直管換算で管の直径の30～40倍（エルボの場合。大曲がりの場合、ほぼゼロ。）
のようなのを無視しているほうが流量の1.85乗なのかどうかよりも影響大。

補足

masa2211さん、回答ありがとうございます。
圧力水頭を考える必要があるご指摘ありがとうございます。

必要動力Ｐ、流量Ｑ、水頭Ｈ、として
Ｐ＝ｇ＊Ｑ＊Ｈｔ
（ここでＨｔには位置水頭、速度水頭、圧力水頭、損失水頭がある。）
理解しました。

masa2211さんは
流量４Ｑ
全水頭Ｈｔとして
Ｐ＝ｇ＊４Ｑ＊Ｈｔ
流量を４Ｑとまとめて考えられていますが
各部毎に流量は違うので
各部流量＊各部水頭と考えなければならないと思うのですが
どうでしょうか？

回答No.3

noname#185706

＃２です。

>損失水頭は速度水頭や位置水頭とは意味が違うということでしょうか？

＃２に書きましたように、「Ｈｍ（あるいはＫ)の次元をお調べにな」ると、はっきりすると思います。Ｈｍの次元が長さ（単位がｍ）であれば、Ｑを掛ける必要があります。

・・・と書いてきて気付いたのですが、どうも私が勘違いしていたようです。＃２で引用したサイトの式と比べるべきは質問者さんのＨｍの式であり、そうであればＱの「べき」はよくあっています。すみませんでした。

回答No.2

noname#185706

IIIでの計算が気になります。

ＨｍにＱを掛ける必要があるのだろうか、という疑問があるのです。質問者さんの式では、損失水頭はＱ＊Ｖ^2に比例しています。ＶはＱ／Ｓに比例しますから、結局、
損失水頭　∝　Ｑ^3＊Ｓ^(-2)　∝　Ｑ^3＊Ｄ^(-4)　（１）
となります（∝は比例の意、Ｄは管の直径）。

これに対して、例えば↓のサイトの式では
http://www.geocities.jp/cafe_sala/Sonshitu.htm
損失水頭　∝　Ｑ^1.85＊Ｄ^(-4.87)　（２）
となっており、（１）式でのＱのべきは（２）式でのものより１以上大きくなっています。

そこで、質問者さんの計算で、ＨｍにＱを掛ける必要はないのではないか、という疑問が湧くわけです。Ｈｍ（あるいはＫ)の次元をお調べになってはいかがでしょうか。

（１）式と（２）式ではＤのべきも１近く違うのですが、これについてもお調べになるとよいかもしれません。

以上、素人のいいかげんな感想です。無用の混乱を招いたとしたら申し訳ありません。

補足

－OKさん、回答ありがとうございます。

＞必要動力は
＞各出口流量＊各出口位置水頭　　　　　I
＞各出口流量＊各出口速度水頭　　　　　II
＞各部配管流量＊各部配管の損失水頭　　III
＞の合計と考え

最初の方向が
「流量＊水頭＝動力」と考えたからですが
損失水頭は速度水頭や位置水頭とは意味が違うということでしょうか？

水頭の単位は三つとも「ｍ」だと覚えましたが。

回答No.1

debukuro

こういう配管はいけません
屋上に給水タンクを付けてそこから流下給水します
各階に適当な減圧器を付けます
こうしないと時には最上階に水が届かなくなります
また上階から汚水を吸い込む恐れもあります

補足

早速の回答ありがとうございます。
現実的な配管ではないということですね。

実際に配管しません。
水頭など理論的な考え方を理解したくて質問しています。